Таблица с интеграли на експоненциални функции

Следващият списък съдържа интегралите на експоненциални функции. За интегралите на други функции, виж Таблични интеграли.

Неопределени интеграли

Само експоненти

${\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}$

${\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C}$ (в процеса на интегриране ${\displaystyle a^{x}}$ се полага с ${\displaystyle e^{x\ln {a}}}$)

${\displaystyle \int e^{ax}dx={\frac {1}{a}}e^{ax}+C}$

${\displaystyle \int {\sqrt {x}}e^{ax}={\frac {1}{a}}e^{ax}+{\frac {i{\sqrt {\pi }}}{2a^{3/2}}}erf(i{\sqrt {ax}})+C,\ erf(x)={\frac {2}{\sqrt {x}}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt}$

${\displaystyle \int xe^{x}dx=(x-1)e^{x}+C}$^[1]

${\displaystyle \int xe^{ax}dx=\left({\frac {x}{a}}-{\frac {1}{a^{2}}}\right)e^{ax}+C}$^[2]

${\displaystyle \int {\frac {1}{a+be^{nx}}}\ dx={\frac {1}{an}}[nx-\ln {a+be^{nx}}]+C}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{1+e^{x}}}\ dx=\ln {\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}=\ln {(1+e^{x})}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{ae^{nx}+be^{-nx}}}\ dx={\frac {1}{n{\sqrt {ab}}}}\arctan {e^{nx}{\sqrt {\frac {a}{b}}}}+C,\ \ ab>0}$^[1]

${\displaystyle \ \ \ \ ={\frac {1}{2m{\sqrt {ab}}}}\ln {\left\vert {\frac {b+e^{mx}{\sqrt {-ab}}}{b-e^{mx}{\sqrt {-ab}}}}\right\vert }+C,\ \ ab<0}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {a+be^{nx}}}}={\frac {1}{n{\sqrt {a}}}}\ln {\frac {{\sqrt {a+be^{nx}}}-{\sqrt {a}}}{{\sqrt {a+be^{nx}}}+{\sqrt {a}}}}+C,\ \ a>0}$^[1]

${\displaystyle \ \ \ \ ={\frac {2}{n{\sqrt {a}}}}\arctan {\frac {\sqrt {a+be^{nx}}}{\sqrt {-a}}}+C,\ \ a<0}$

${\displaystyle \int \exp {(a^{x})}\ dx={\frac {Ei(a^{x})}{\ln {a}}}+C}$

С рационални функции

${\displaystyle \int xe^{ax}\ dx=e^{ax}\left({\frac {x}{a}}-{\frac {1}{a^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \int x^{2}e^{x}\ dx=e^{x}(x^{2}-2x+2)+C}$

${\displaystyle \int x^{2}e^{ax}\ dx=e^{ax}\left({\frac {x^{2}}{a}}-{\frac {2x}{a^{2}}}+{\frac {2}{a^{3}}}\right)+C}$

${\displaystyle \int x^{3}e^{ax}\ dx=e^{ax}\left({\frac {x^{3}}{a}}-{\frac {3x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {6x}{a^{3}}}-{\frac {6}{a^{4}}}\right)+C}$^[1]

${\displaystyle \int x^{3}e^{x}\ dx=e^{x}(x^{3}-3x^{2}+6x-6)+C}$

${\displaystyle \int x^{4}e^{ax}\ dx=e^{ax}\left({\frac {X^{4}}{a}}-{\frac {4x^{3}}{a^{2}}}+{\frac {12x^{2}}{a^{3}}}-{\frac {24x}{a^{4}}}+{\frac {24}{a^{5}}}\right)+C}$

${\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\ dx={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}-{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}e^{ax}\ dx,\ \ a\neq 0}$^[1]

${\displaystyle \ \ \ \ =(-1)^{n}{\frac {1}{a}}\Gamma [1+n,-ax]+C,\ \ \Gamma (a,x)=\int _{x}^{\infty }t^{a-1}e^{-t}dt}$

${\displaystyle \ \ \ \ =e^{ax}\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}k!{\binom {n}{k}}}{a^{k+1}}}x^{n-k}\right)}$

${\displaystyle \int e^{ax^{2}}\ dx=-i{\frac {\sqrt {\pi }}{2{\sqrt {a}}}}erf(ix{\sqrt {a}})+C}$

${\displaystyle \int P_{n}(x)e^{ax}\ dx={\frac {e^{ax}}{a}}\sum {k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {P^{(k)}(x)}{a^{k}}}+C}$^[1], където P_n(x) е полином от n-та степен, а P^(k)(x) е k-тата производна на многочлена.

Определени интеграли

^{Този раздел е празен или е мъниче. Можете да помогнете на Уикипедия, като го разширите.}