Неперово число

Числото ${\displaystyle e=2,71828182845904523536...}$ е математическа константа, ирационално и трансцендентно число, което е основата на натуралните (естествените) логаритми на Непер. Нарича се Неперово число или Ойлерово число. Открито е от Бернули като граница на (1 + 1/n)ⁿ когато ${\displaystyle n}$ се доближава до безкрайност – израз, който възниква при изчисляване на сложна лихва. Може да се изчисли и като сума от числата на безкрайната редица ${\displaystyle {\frac {1}{n!}}}$. Въведено е като число и означение от Ойлер.

Ирационални числа ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — eπ и π
Бройна система	Означение на числото ${\displaystyle e}$
Двоична	10,101101111110000101010001011001…
Десетична	2,7182818284590452353602874713527…
Шестнадесетична	2,B7E151628AED2A6A…
Шестдесетична	2; 43 05 48 52 29 48 35 …
Рационални приближения	8/3; 11/4; 19/7; 87/32; 106/39; 193/71; 1264/465; 2721/1001; 23225/8544 (изчислено в ред на увеличение на точността)
Верижна дроб	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, …] (Дробта не е периодична. Записана е в линейна нотация.)

Числото ${\displaystyle e}$ е една от най-важните константи в математиката. Възниква естествено при описанието на различни процеси в природните и обществените науки.

${\displaystyle e}$ е такова число, за което производната (тангенс от ъгъла на наклона на допирателната) на показателната функция f (x) = e^x (синя линия) в точка x = 0 е равна на 1 (допирателна — червена линия). За сравнение са показани функциите f (x) = 2^x (точкова линия) и f (x) = 4^x (пунктирна крива), чиито производни не са равни на 1 при
x = 0.

История

Числото ${\displaystyle e}$ се нарича Неперово число в чест на шотландския учен Джон Непер – автор на съчинението „Описание на удивителните таблици на логаритмите“ (1614 г.). Това не е съвсем правилно, тъй като в него логаритъмът на ${\displaystyle x}$ е равен на

${\displaystyle 10^{7}\cdot \,\log _{1/e}\left({\frac {x}{10^{7}}}\right)\,\!}$.

Числото ${\displaystyle e}$ негласно присъства в приложение към превода на английски език на споменатата работа на Непер. В тази работа има само таблица на естествените логаритми, а за числото ${\displaystyle e}$ не е дадено определение. Предполага се, че автор на приложението е английският математик Уилям Оутред. Самото число ${\displaystyle e}$ е получено за първи път от Якоб Бернули през 1690 г. при опит да изчисли границата

${\displaystyle \lim _{n\,\to \,\infty }\,\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$.

Джон Непер първи използва числото ${\displaystyle 1/e}$ за основа на логаритми (1614 г.).

Леонард Ойлер първи обозначава числото с буквата ${\displaystyle e}$ (1727 г.).

Якоб Бернули открива числото ${\displaystyle e}$ (1690 г.).

Първото известно използване на тази константа (с друго обозначение) се среща в писмата на Лайбниц до Хюйгенс (около 1691 г.). Буквата ${\displaystyle e}$ първи използва Леонард Ойлер през 1727 г., а първата публикация с тази буква е неговата „Механика, или наука за движението, изложена аналитично“. Поради това числото ${\displaystyle e}$ понякога се нарича Ойлерово число. Смята се, че буквата „${\displaystyle e}$“ е избрана в чест на Ойлер (Euler)^[1]. Друга възможна причина е, че с нея започва думата „експонента“ (показател).

Дефиниции

Числото ${\displaystyle e}$ може да бъде определено по два равносилни начина:

• като граница на числова редица:

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$;

${\displaystyle e=\lim _{n\,\to \,\infty }\;{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}$;

• като сума на безкраен числов ред:

${\displaystyle e=\sum _{k\,=\,0}^{\infty }{\;{\frac {1}{k!}}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }$.

Други определения на числото e

${\displaystyle e=2\cdot {\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\cdots }$

${\displaystyle e=\lim _{n\,\to \,\infty }\;\left({\rm {}}{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right)}$

${\displaystyle e={\frac {1}{\lim _{n\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}}}}$;

${\displaystyle e={\frac {1}{\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}}}}$;

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,\dots ]}$.

Свойства

През 1737 г. Ойлер е доказал, че Неперовото число е ирационално, а през 1879 г. Ермит е установил, че то е трансцендентно.

Връзката между Неперовото число и ${\displaystyle \pi }$ се вижда от формулата на Ойлер:

${\displaystyle e^{\,i\pi }=-1}$

В математическия анализ особено значение има експоненциалната функция ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$, която съвпада със своята производна:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

Още една връзка между числата ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle \pi }$ се получава при пресмятане на интеграла на Поасон:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}}$.

• За всяко комплексно число ${\displaystyle z}$ са изпълнени следните равенства:

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}$.

Числото ${\displaystyle e}$ се разлага в безкрайна верижна дроб по следния начин:

${\displaystyle e=[2;\;1,2,1,\;1,4,1,\;1,6,1,\;1,8,1,\;1,10,1,\ldots ]\,,}$

т.е.

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Приложения

Сложна лихва

Якоб Бернули открива числото ${\displaystyle e}$ през 1685 г. при изучаване на сложната лихва.^[2]

Нека има 1 лев в банкова сметка с годишна лихва 100 %. Ако сметката се олихвява веднъж годишно, то след изтичане на годината ще има 2 лева. Колко лева ще има в края на годината, ако лихвата се начислява на по-къси интервали (и се натрупва към сметката)?

Ако лихвата се начислява веднъж на 6 месеца от годината (по 50 % на шестмесечие), то в края на годината ще получим 2,25 лв. Ако лихвата се начислява ежемесечно (по 100 %: 12 = 8,33 % на месец), то в края на годината ще имаме 2,61 лв. Ако лихвата се начислява ежедневно (по 100 %: 365 = 0,274 % на ден), то в края на годината ще имаме 2,71 лв. Колкото по-често се олихвява сметката, толкова по-голяма сума се получава. Обаче крайният резултат не расте неограничено. Бернули забелязал, че резултатът не надхвърля определена граница, а именно 2,72 лв., към която стойност се приближава паричната сума в края на годината, когато сметката се олихвява все по-често и по-често. Именно тази гранична стойност 2,718281828459045... лв. е Неперовото или Ойлерово число.

Доказателство за ирационалността на числото e

Да допуснем противното: че ${\displaystyle e}$ е рационално. Тогава ${\displaystyle e=p/q}$, където ${\displaystyle p}$ е цяло, а ${\displaystyle q}$ е естествено число. Понеже ${\displaystyle e}$ не е цяло число, то ${\displaystyle q>1}$. Следователно

${\displaystyle p=eq}$

Умножаваме по ${\displaystyle (q-1)!}$ и получаваме

${\displaystyle p(q-1)!\,=\,eq!\,=\,q!\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\;{1 \over n!}}\,=\,\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\;{q! \over n!}}\,=\,\sum _{n\,=\,0}^{q}{\;{q! \over n!}}+\sum _{n\,=\,q+1}^{\infty }{\;{q! \over n!}}}$

Прехвърляме ${\displaystyle \sum _{n\,=\,0}^{q}{\;{q! \over n!}}}$ от другата страна:

${\displaystyle \sum _{n\,=\,q+1}^{\infty }{\;{q! \over n!}}\,=\,p(q-1)!-\sum _{n\,=\,0}^{q}{\;{q! \over n!}}}$

Всички събираеми в дясната страна са цели числа, следователно

${\displaystyle \sum _{n\,=\,q+1}^{\infty }{\;{q! \over n!}}}$ също е цяло (положително) число, затова

${\displaystyle \sum _{n\,=\,q+1}^{\infty }{\;{q! \over n!}}\geq 1}$.

Обаче${\displaystyle \sum _{n\,=\,q+1}^{\infty }{\;{q! \over n!}}\,=\,\sum _{m\,=\,1}^{\infty }{\;{q! \over (q+m)!}}\,=\,\sum _{m\,=\,1}^{\infty }{\;{1 \over (q+1)...(q+m)}}\,<}$

${\displaystyle <\,\sum _{m\,=\,1}^{\infty }{\;{1 \over (q+1)^{m}}}\,=\,{1 \over q}\,<\,1}$, тоест

${\displaystyle \sum _{n\,=\,q+1}^{\infty }{\;{q! \over n!}}<1}$, което е противоречие.

Първите 200 цифри на числото e

${\displaystyle e=2{,}71828\;18284\;59045\;23536\;02874\;71352\;66249\;77572\;47093\;69995}$

${\displaystyle \;95749\;66967\;62772\;40766\;30353\;54759\;45713\;82178\;52516\;64274}$

${\displaystyle \;27466\;39193\;20030\;59921\;81741\;35966\;29043\;57290\;03342\;95260}$

${\displaystyle \;59563\;07381\;32328\;62794\;34907\;63233\;82988\;07531\;95251\;01901\,\ldots }$.

Вижте също

• Натурален логаритъм
• Експоненциална функция
• Формула на Ойлер
• Формула на Моавър
• Сложна лихва