বহুপদী সমীকরণ

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0,}$

বহুপদী সমীকরণ

আকারের সমীকরণকে বহুপদী সমীকরণ বলা হয়^[১]। উল্লেখ্য এখানেও n একটি ধনাত্বক পূর্ণ সংখ্যা এবং ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}.........a_{n}}$ সহগ গুলো x বর্জিত সংখ্যা এবং ${\displaystyle a_{n}}$ অবশ্যই শূন্য নয় কারণ তা সমীকরণের সর্বোচ্চ ঘাতের সহগ।

সাধারণ ধারণা

x এর যে মান গুলোর জন্য বহুপদী সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, অর্থাৎ বহুপদী রাশিটির মান শূন্য হয় ঐ মানগুলোকে বহুপদী সমীকরণের মূল বলা হয়। বহুপদী রাশির সর্বোচ্চ ঘাত n হলে এবং n=1,2,3.....n এর জন্য বহুপদী সমীকরণকে যথাক্রমে সরল বা একঘাত সমীকরণ, দ্বিঘাত সমীকরণ, ত্রিঘাত সমীকরণ এবং বহুঘাত সমীকরণ বলা হয়।

বহুপদী সমীকরণের উল্লেখযোগ্য উপপাদ্য

1. প্রতিটি বহুপদী সমীকরণে কমপক্ষে একটি বাস্তব বা জটিল মূল থাকে।^[২]
2. n ঘাত বিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণে নির্দিষ্টভাবে n সংখ্যক মূল থাকবে। দুই বা ততোধিক বা সবকয়টি মূল এর মান একই হতে পারে।
3. যদি কোন বহুপদী f(x) কে x-a দ্বারা ভাগ করা হয় তবে ভাগশেষ হবে f(a) এটি ভাগশেষ উপপাদ্য নামে পরিচিত।
4. যদি কোন বহুপদী রাশি f(x) এর একটি মূল a হয় তবে x-a, f(x) এর একটি উৎপাদক হবে। এটি উৎপাদক উপপাদ্য নামে পরিচিত।^[২]
5. a+ib যদি কোন বহুপদী সমীকরণের একটি মূল হয় তবে সমীকরণে নিশ্চিত ভাবে অপর একটি মূল থাকবে যার মান a-ib । a+ib এবং a-ib কে পরস্পরের অনূবন্ধী জটিল সংখ্যা বলা হয়। অবার ${\displaystyle a+{\sqrt {b}}}$ যেখানে ${\displaystyle {\sqrt {b}}}$ অমূলদ সংখ্যা, বহুপদী সমীকরণের একটি মূল হলে অপর মূলটি হবে ${\displaystyle a-{\sqrt {b}}}$ এরা পরস্পরের অনূবন্ধী অমূলদ সংখ্যা।

বহুপদী সমীকরণের মূল সহগ সম্পর্ক

দ্বিঘাত বহুপদী সমীকরণ

কোন বহুপদী রাশির সর্বোচ্চ ঘাত যদি দুই হয় তবে তাকে দ্বিঘাত বহুপদী বলা হয়ে থাকে। ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ একটি দ্বিঘাত বহুপদী সমীকরণ। বহুপদী সমীকরণের স্বীকার্য মতে এতে দুইটি মূল থাকবে। একটি মূলকে ${\displaystyle \alpha }$ এবং অপর মূলকে ${\displaystyle \beta }$ ধরা হলে মূল ও সহগের মধ্যে সম্পর্ক হবে-

${\displaystyle \alpha +\beta =-b/a}$

${\displaystyle \alpha \beta =c/a}$

আবার সমীকরণকে লিখা যায়-

${\displaystyle (x-\alpha )(x-\beta )=0}$ অথবা ${\displaystyle x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =0}$

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ(a≠0) হলে ${\displaystyle b^{2}-4ac}$ এর মানকে সমীকরণের নিশ্চায়ক বলা হয়। নিশ্চায়কের মানের উপর মূলের প্রকৃতি নির্ভর করে।

${\displaystyle b^{2}-4ac>0}$ হলে মূলদ্বয় বাস্তব এবং অসমান^[২]

${\displaystyle b^{2}-4ac>0}$ এর মান পূর্ণ বর্গ হলে মূলদ্বয় মূলদ এবং ${\displaystyle b^{2}-4ac>0}$ এর মান পূর্ণ বর্গ না হলে মূলদ্বয় অমূলদ এবং অমূলদ মূলদ্বয় পরস্পরের অনুবন্ধী।

${\displaystyle b^{2}-4ac<0}$ হলে মূলদ্বয় জটিল এবং পরস্পরের অনুবন্ধী।^[২]

${\displaystyle b^{2}-4ac=0}$ মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান। এবং দ্বিপদী রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ।

অন্যান্য

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ সমীকরণে

দুটি মূল পরস্পরের সমান ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে যদি b=0 হয়।

কমপক্ষে একটি মূল শূণ্য হওয়ার শর্ত c=0

মূলদ্বয় পরস্পরের বিপরীত হওয়ার শর্ত a=c

মূলদ্বয় পরস্পরের বিপরীত ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হওয়ার শর্ত a=-c অর্থাৎ a+c=0।

ত্রিঘাত বহুপদী সমীকরণ

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ আকারের সমীকরণকে ত্রিঘাত বহুপদী সমীকরণ বলা হয়। বহুপদী সমীকরণের উপপাদ্য অনুযায়ী এতে তিনটি মূল রয়েছে। মূলগুলোকে ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ ও ${\displaystyle \gamma }$ দিয়ে প্রকাশ করা হয়। ত্রিঘাত সমীকরণে মূল ও সহগের মধ্যে সম্পর্ক নিম্নরূপ-

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =-b/a}$

${\displaystyle \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =c/a}$

${\displaystyle \alpha \beta \gamma =-d/a}$

সাধারণ সম্পর্ক

${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{n-2}+a_{3}x^{n-3}+.......+a_{n-1}x+a_{n}=0,}$ একটি বহুপদী সমীকরণ এবং এর মূল গূলো ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},.....\alpha _{n}}$ হলে মূল ও সহগের মধ্যে সম্পর্ক-

মূলের যোগফল

${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+......+\alpha _{n}=-a_{1}/a_{0}}$

দুটি করে মূলের গুনফলের যোগফল

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{2}\alpha _{3}+......+\alpha _{n}\alpha _{1}=a_{1}/a_{0}}$

তিনটি করে মূলের গুনফলের যোগফল

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{3}\alpha _{4}+.......=-a_{2}/a_{0}}$

সবগুলো মূলের গুনফল

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}.....\alpha _{n}=(-1)^{n}a_{n}/a_{0}}$