1 + 1 + 1 + 1 + · · · , može se pisati i kao
∑
n
=
1
∞
n
0
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{0}}
,
∑
n
=
1
∞
1
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1^{n}}
, ili
∑
n
=
1
∞
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1}
, je divergentni red .[1] [2] To znači da niz parcijalnih suma ne konvergira do neke granice u skupu realnih brojeva .
1 + 1 + 1 + 1 + · · ·
poslije izravnanja
Niz
1
n
{\displaystyle 1^{n}}
može se posmatrati kao geometrijski niz sa zajedničkim odnosom
1
{\displaystyle 1}
. Za razliku od drugih geometrijskih nizova sa racionalnim odnosom (osim -1),
ne konvergira u realne brojeve.
Kada se pojavi u primjeni u fizici, red 1 + 1 + 1 + 1 + · · · se može interpretirati pomoću regularizacije zeta funkcije . To je vrijednost Riemannove zeta funkcije za
s
=
0
{\displaystyle s=0}
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,}
=
1
1
−
2
1
−
s
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
s
,
{\displaystyle ={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\,,}
Gore navedene formule ne važe za nulu, međutim, kako jedna mora da koristi analitički nastavak Rimanove zeta funkcije,[3]
Asimptotsko ponašanje izravnanja. U-presjek linije je
−
1
/
2
{\displaystyle -1/2}
ζ
(
s
)
=
2
s
π
s
−
1
sin
(
π
s
2
)
Γ
(
1
−
s
)
ζ
(
1
−
s
)
,
{\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!,}
Koristeći ovaj dobija se (s obzirom da je
Γ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \Gamma (1)=1}
),
ζ
(
0
)
=
1
π
lim
s
→
0
sin
(
π
s
2
)
ζ
(
1
−
s
)
=
{\displaystyle \zeta (0)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \zeta (1-s)=}
1
π
lim
s
→
0
(
π
s
2
−
π
3
s
3
48
+
.
.
.
)
(
−
1
s
+
.
.
.
)
=
−
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {\pi ^{3}s^{3}}{48}}+...\right)\ \left(-{\frac {1}{s}}+...\right)=-{\frac {1}{2}}\!}
[4]
u kojoj je funkcija definisana, gdje red divergira po analitičkom produženju . U tom smislu vrijedi 1 + 1 + 1 + 1 + · · · = ζ(0) = −1 ⁄2 .
Može se reći da je
∑
n
=
1
m
n
0
=
m
{\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n^{0}=m}
Lako se dokazuje matematičkom indukcijom.
∑
n
=
1
1
n
0
=
1
0
=
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{1}n^{0}=1^{0}=1}
∑
n
=
1
2
n
0
=
1
0
+
2
0
=
1
+
1
=
2
{\displaystyle \sum _{n=1}^{2}n^{0}=1^{0}+2^{0}=1+1=2}
∑
n
=
1
3
n
0
=
1
0
+
2
0
+
3
0
=
1
+
1
+
1
=
3
{\displaystyle \sum _{n=1}^{3}n^{0}=1^{0}+2^{0}+3^{0}=1+1+1=3}
∑
n
=
1
4
n
0
=
1
0
+
2
0
+
3
0
+
4
0
=
1
+
1
+
1
+
1
=
4
{\displaystyle \sum _{n=1}^{4}n^{0}=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}=1+1+1+1=4}
n
m
n
m
=
n
m
−
m
=
n
0
=
1
{\displaystyle {\frac {n^{m}}{n^{m}}}=n^{m-m}=n^{0}=1}
Tvrdnja ne važi za
n
=
0
{\displaystyle n=0}
jer
0
0
{\displaystyle 0^{0}}
nema smisla
Carl Friedrich Gauss, otkrio trouglaste brojeve
∑
n
=
1
m
n
0
=
∑
n
=
1
m
n
−
∑
n
=
0
m
−
1
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n^{0}=\sum _{n=1}^{m}n-\sum _{n=0}^{m-1}n}
∑
n
=
1
m
n
0
=
m
{\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n^{0}=m}
∑
n
=
1
m
n
=
m
(
m
+
1
)
2
{\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n={\frac {m(m+1)}{2}}}
∑
n
=
0
m
−
1
n
=
m
(
m
−
1
)
2
{\displaystyle \sum _{n=0}^{m-1}n={\frac {m(m-1)}{2}}}
∑
n
=
1
m
n
0
=
m
(
m
+
1
)
2
−
m
(
m
−
1
)
2
=
m
2
(
m
+
1
−
m
+
1
)
=
m
2
(
2
)
=
m
{\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n^{0}={\frac {m(m+1)}{2}}-{\frac {m(m-1)}{2}}={\frac {m}{2}}(m+1-m+1)={\frac {m}{2}}(2)=m}
m
(
m
+
1
)
2
=
(
m
+
1
2
)
{\displaystyle {\frac {m(m+1)}{2}}={\binom {m+1}{2}}}
što je trouglasti broj koji je otkrio Gauss .
Razlika između zbirova
∑
n
=
1
m
n
−
∑
n
=
1
m
n
0
=
∑
n
=
0
m
−
1
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n-\sum _{n=1}^{m}n^{0}=\sum _{n=0}^{m-1}n}
Za
m
=
1
,
2
{\displaystyle \ m=1,2}
m
=
1
{\displaystyle \ m=1}
∑
n
=
1
1
n
−
∑
n
=
1
1
n
0
=
∑
n
=
0
0
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{1}n-\sum _{n=1}^{1}n^{0}=\sum _{n=0}^{0}n}
koji odgovara
∑
n
=
1
1
1
−
∑
n
=
1
1
1
=
∑
n
=
0
0
0
=
1
−
1
=
0
{\displaystyle \sum _{n=1}^{1}1-\sum _{n=1}^{1}1=\sum _{n=0}^{0}0=1-1=0}
što znači
0
=
0
{\displaystyle \ 0=0}
m
=
2
{\displaystyle \ m=2}
∑
n
=
1
2
n
−
∑
n
=
1
2
n
0
=
∑
n
=
0
1
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{2}n-\sum _{n=1}^{2}n^{0}=\sum _{n=0}^{1}n}
koji odgovara
∑
n
=
1
2
1
+
2
−
∑
n
=
1
2
2
=
∑
n
=
0
1
1
=
3
−
2
=
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{2}1+2-\sum _{n=1}^{2}2=\sum _{n=0}^{1}1=3-2=1}
što znači
1
=
1
{\displaystyle \ 1=1}
∑
n
=
1
m
n
0
=
∑
n
=
−
k
+
1
m
−
k
n
−
∑
n
=
−
k
m
−
(
k
+
1
)
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n^{0}=\sum _{n=-k+1}^{m-k}n-\sum _{n=-k}^{m-(k+1)}n}
k
=
0
,
1
,
2
,
3
,
.
.
.
{\displaystyle \ k=0,1,2,3,...}
na skupu
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
.
∑
n
=
1
m
+
1
n
0
⋅
∏
p
=
1
m
(
p
p
+
1
)
=
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{m+1}n^{0}\cdot \prod _{p=1}^{m}({\frac {p}{p+1}})=1}
∑
n
=
1
m
+
1
n
0
=
m
+
1
e
∏
p
=
1
m
(
p
p
+
1
)
=
1
m
+
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{m+1}n^{0}=m+1e\prod _{p=1}^{m}({\frac {p}{p+1}})={\frac {1}{m+1}}}
kad pomnožimo dobijemo
m
+
1
⋅
1
m
+
1
=
1
{\displaystyle \ m+1\cdot {\frac {1}{m+1}}=1}
∑
m
=
1
s
(
∑
n
=
1
s
+
1
n
0
⋅
∏
p
=
1
s
(
p
p
+
1
)
)
=
∑
n
=
1
s
n
0
{\displaystyle \sum _{m=1}^{s}(\sum _{n=1}^{s+1}n^{0}\cdot \prod _{p=1}^{s}({\frac {p}{p+1}}))=\sum _{n=1}^{s}n^{0}}
Weisstein, Eric W. "Divergent Series" . mathworld.wolfram.com (jezik: engleski). Pristupljeno 12. 8. 2023 .