Matematička analiza

Matematička analiza, koju matematičari jednostavno nazivaju analiza, svoje početke ima u rigoroznim formulacijama kalkulusa. To je grana čiste matematike koja se najviše bavi sa oznakom granične vrijednosti, bilo da se radi o graničnoj vrijednosti niza ili graničnoj vrijednosti funkcije.^[1] Također uključuje teorije o diferencijaciji, integraciji i mjeri, beskonačnim redovima,^[2] i analitičkim funkcijama. Ove teorije se često proučavaju u kontekstu realnih brojeva, kompleksnih brojeva, i realnih i kompleksnih funkcija. Međutim, mogu se, također, definisati i proučavati i u prostoru matematičkih objekata koji imaju definiciju bliskosti (topološki prostor) ili, specifičnije, udaljenosti (metrički prostor).

Historija

Podjele

Matematička analiza dijeli se na sljedeće oblasti:

• Realna analiza, rigorozno proučavanje derivacija i integrala funkcija realnij varijabli. Ova studija uključuje proučavanje nizova i njihovih graničnih vrijednosti, redova i mjera.
• Funkcionalna analiza^[3] proučava prostor funkcija i uvodi koncepte kao što su Banachovi prostori i Bilbertovi prostori.
• Harmonijska analiza se bavi sa Fourierovim redovima i njehovim apstrakcijama.
• Kompleksna analiza, proučavanje funkcija iz kompleksne ravni u sebe same što su kompleksno diferencijabilne (to jest, holomorfna).
• Diferencijalna geometrija, primjena kalkulusa na specifične mateamtičke prostore poznate kao višestrukosti, koje posjeduju komplikovane unutrašnje strukture, ali se, lokalno, ponašaju veoma jednostavno.
• p-adična analiza, proučavanje analize unutar konteksta p-adičnih brojeva, koji se razlikuju na neke interesantane i začuđujuće načine od svojih realnih i kompleksnih duplikata.
• Nestandardna analiza, koja istražuje hiperrealne brojeve i njihove funkcije i daje rigorozan tretman infinitezimala i beskonačno velikih brojeva. Normalno se klasifikovana kao teorija modela.
• Numerička analiza, proučavanje algoritama za aproksimiranje problema neprekidne matematike.

Klasična analiza bi normalno bila shvaćena kao bilo koji rad koji ne koristi tehnike funkcionalne analize, te se ponekad naziva i teška analiza; također se, prirodno, odnosti na neke tradicionalnije teme. Proučavanje diferencijalnih jednačina se sada dijeli sa drugim oblastima kao što su dinamički sistemi, iako je preklop sa konvencionalnom analizom velik.

Također pogledajte

• Metod ekshaustije
• Neklasična analiza
• Glatka infinitezimalna analiza
• Funkcionalni red
• Granična vrijednost podniza
• Hermitijan funkcija
• Kneserov teorem
• Kroneckerova lema
• Lidstoneov red
• Oscilacija (diferencijalna jednačina)
• Sigma aproksimacija
• Trigonometrijski red
• Zatvorena konveksna funkcija