0 (broj)

Nula (0) je cijeli broj^[1] koji nije ni pozitivan ni negativan. On predstavlja praznu količinu. Njegova apsolutna vrijednost je 0. Nula je paran broj.^[2] Dodavanje (ili oduzimanje) 0 bilo kojem broju ostavlja taj broj nepromijenjenim; u matematičkoj terminologiji, 0 je aditivni identitet cijelih brojeva, racionalnih brojeva, realnih i kompleksnih brojeva, kao i drugih algebarskih struktura. Množenjem bilo kojeg broja sa 0 dobija se 0, pa dijeljenje nulom nema nikakvog značenja u aritmetici.

Stari kineski način pisanja brojeva: prazno mjesto znači nula.

Kao brojčani znak, 0 igra ključnu ulogu u decimalnim zapisima: označava da stepen desetice koji odgovara mjestu koje sadrži 0 ne doprinosi ukupnom iznosu. Na primjer, "205" u decimalnom obliku znači dvije stotine, bez desetica i pet jedinica. Isti princip se primjenjuje u notacijama vrijednosti mjesta koje koriste bazu koja nije deset, kao što su binarni i heksadecimalni. Moderna upotreba 0 na ovaj način proizlazi iz indijske matematike koja je prenijeta u Evropu preko srednjovjekovnih islamskih matematičara i popularizirana od strane Fibonaccija. Najranija upotreba koncepta nule pripisuje se civilizacijama Maja, Babilona i Indije (natpis simbola nule iz 9. vijeka na zidu hrama u Gwalioru, država Madhya Pradesh).^[3]

Matematika

Koncept nule igra višestruke uloge u matematici: kao cifra, važan je dio pozicijske notacije za predstavljanje brojeva, dok također igra važnu ulogu kao sam broj u mnogim algebarskim postavkama.

Kao cifra

U pozicionim brojevnim sistemima (kao što je uobičajena decimalna notacija za predstavljanje brojeva), cifra 0 igra ulogu čuvara mjesta, što ukazuje da određene moći baze ne doprinose. Na primjer, decimalni broj 205 je zbir dvije stotine i pet jedinica, pri čemu cifra 0 označava da se ne dodaju desetice. Cifra igra istu ulogu u decimalnim razlomcima i u decimalnom predstavljanju drugih realnih brojeva (označavajući da li su prisutne desetine, stotine, hiljade, itd.) i u bazama koje nisu 10 (na primjer, u binarnom, gdje označava koji stepen 2 su izostavljeni).^[4]

Osnovna algebra

Broj 0 je najmanji nenegativni cijeli broj, a najveći nepozitivni cijeli broj. Prirodni broj nakon 0 je 1 i nijedan prirodan broj ne prethodi 0. Broj 0 se može, ali i ne mora smatrati prirodnim brojem,^[5][6] ali je cijeli broj, pa stoga racionalan i realan broj.^[7] Svi racionalni brojevi su algebarski brojevi, uključujući 0. Kada se realni brojevi prošire da formiraju kompleksne brojeve, 0 postaje ishodište kompleksne ravni.

Broj 0 se ne može smatrati ni pozitivnim ni negativnim^[8] ili, alternativno, i pozitivnim i negativnim^[9] i obično se prikazuje kao središnji broj u brojevnoj liniji. Nula je parna^[10] (tj. višekratnik od 2), a također je celobrojni višekratnik bilo kojeg drugog cijelog, racionalnog ili realnog broja. Ona nije ni prosti niti složen broj: nije prost jer su prosti brojevi po definiciji veći od 1, a nije složen jer se ne može izraziti kao proizvod dva manja prirodna broja.^[11] (Međutim, singleton skup {0} je primarni ideal u prstenu cijelih brojeva.)

Slijede neka osnovna pravila za rad sa brojem 0. Ova pravila važe za svaki realan ili kompleksan broj x, osim ako nije drugačije navedeno.

• Sabiranje: dodavanje nule bilo kojem broju ne povećava vrijednost tom broju.^[12]

${\displaystyle x+0=0+x=x}$

• Oduzimanje: oduzimanje nule od bilo kojeg broja ne smanjuje vrijednost tog broja.

${\displaystyle x-0=x}$

oduzimanjem nekog broja od nule mijenja se predznak tog broja

${\displaystyle 0-x=-x}$

• Množenje: množenje bilo kojeg broja s nulom daje umnožak nula.

${\displaystyle x*0=0*x=0}$

• Dijeljenje: dijeljenje bilo kojeg broja s nulom nema rješenje te se kaže da je nedefinirano.

${\displaystyle {\frac {x}{0}}\neq \infty }$

• Dijeljenje nule nekim brojem različitim od nule daje nulu

${\displaystyle {\frac {0}{x}}=0}$

• Dijeljenje nule nulom je nedefinisano

${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$

• Potenciranje: potenciranje bilo kojeg broja (različitog od nule) nulom daje rezultat 1.

${\displaystyle x^{0}=1}$

• potenciranje nule bilo kojim brojem različitim od nule daje nulu.

${\displaystyle 0^{x}=0}$

• potenciranje nule nulom daje broj 1

${\displaystyle 0^{0}=1}$