Binomna teorema

U elementarnoj algebri, binomni teorem opisuje koeficijente stepena binoma kada je on predstavljen u razvijenoj formi. Njegov najjednostavniji oblik kaže da je

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad \quad \quad (1)}$

za bilo koje realne ili kompleksne brojeve x i y, te bilo koji nenegativan cijeli broj n. Binomni koeficijent, koji se pojavljuje u (1), može se definisati preko funkcije faktorijela n!:

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}.}$

Na primjer, pred nama su slučaji kada je 2 ≤ n ≤ 5:

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,}$

${\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,}$

${\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,}$

${\displaystyle (x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}.\,}$

"Binomni tip"

Binomni teorem može se iskazati tako što ćemo reći da je polinomni niz

${\displaystyle \left\{\,x^{k}:k=0,1,2,\dots \,\right\}\,}$

iz binomnog tipa.

Dokaz

Jedan način da dokažemo binomni teorem (1) je pomoću matematičke indukcije. Kada je n = 0, imamo da je

${\displaystyle (a+b)^{0}=1=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{0-k}b^{k}.}$

Sada pretostavimo da teorem važi i kada je eksponent m. Tada, za n = m + 1

${\displaystyle (a+b)^{m+1}=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\,}$

${\displaystyle =a\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k}b^{k}+b\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j}}$

po hipotezi indukcije

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}$

množeći sa a i b dobijamo

${\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}$

izvlačimo član k = 0

${\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}}$

i kažemo da je j = k − 1

${\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m+1-k}b^{k}+b^{m+1}}$

izvlačimo član k = m + 1 sa desne strane

${\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}}$

te kombinujemo dobijene sume

${\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}}$

iz Pascalovog pravila imamo da je

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}}$

dodajemo u m + 1 članova.

Binomni broj

Binomni broj je broj u obliku ${\displaystyle \scriptstyle x^{n}\,\pm \,y^{n}}$ (kada je n najmanje 2). Kada je znak ili ako je n neparan broj, tada se binomni brojevi kogu rastaviti na faktore algebarski:

${\displaystyle x^{n}\pm y^{n}=(x\pm y)(x^{n-1}\mp x^{n-2}y+\cdots \mp xy^{n-2}+y^{n-1}).\,}$

Primjeri:

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)\,}$

${\displaystyle x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})\,}$

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,}$

${\displaystyle x^{8}-y^{8}=(x-y)(x+y)(x^{2}+y^{2})(x^{4}+y^{4})\,}$

Da bi razložili ${\displaystyle \scriptstyle x^{n}\,-\,y^{n}}$ na faktore, koristite izraz

${\displaystyle x^{n}-y^{n}=(x-y)\left(\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}y^{n-1-k}\right).}$

Također pogledajte

• Binomna distribucija
• Binommna vjerovatnoća
• Inverzni binomni teorem
• Binomni red
• Kombinacija
• Stirlingova aproksimacija
• Multinomni teorem
• Negativna binomnna distribucija
• Pascalov trougao