Niz

Funkciju ${\displaystyle f:\mathbf {N} \longrightarrow R}$ kojoj je domen skup prirodnih brojeva ${\displaystyle \mathbf {N} }$, a kodomena ma koji dati skup ${\displaystyle R}$ nazivamo brojni niz (slog) i označavamo sa ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots }$, odnosno sa ${\displaystyle a(1),a(2),\ldots ,a(n),\ldots }$.

Za druga značenja, pogledajte Niz (čvor).

U matematičkoj literaturi se za označavanje navedenog niza često koriste i oznake ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}$ odnosno ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$.

Element ${\displaystyle a(n)}$ (tj. ${\displaystyle a_{n}}$) nazivamo n-ti ili opći član niza, a element ${\displaystyle a_{1}}$ prvi član niza.

Ako je domen funkcije ${\displaystyle f}$ konačan podskup skupa ${\displaystyle \mathbf {N} }$, onda za niz ${\displaystyle \{a_{n}\}=a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ kažemo da je konačan, i označavamo ga sa ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k=1}^{n}}$.

Broj elemenata datog niza ne mora se podudarati sa brojem elemenata kodomena pripadajuće funkcije.

Primjer

• Funkcija ${\displaystyle a:\mathbf {N} \longrightarrow R}$ data sa ${\displaystyle a_{n}=a(n)=3^{n}}$ za ${\displaystyle \forall (n\in \mathbf {N} )}$ određuje niz

${\displaystyle 3,3^{2},3^{3},3^{4},3^{5},\ldots }$

• Niz ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ zadan formulom ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2}}[5+(-1)^{n}]}$ za ${\displaystyle \forall (n\in \mathbf {N} )}$, tj. ${\displaystyle a_{n}=\left\{{\begin{array}{cc}3&{\mbox{ako je n paran}}\\2&{\mbox{ako je n neparan}}\end{array}}\right.}$ glasi ${\displaystyle 2,3,2,3,2,3,\ldots }$

Očigledno je ovaj niz beskonačan, ali je njegov rang ${\displaystyle R}$ konačan skup ${\displaystyle \{2,3\}}$.

Važniji nizovi brojeva

Fibonaccijev niz

Glavni članak: Fibonaccijev broj

Fibonaccijev (Fibonacijev) niz je niz brojeva sa osobinom da je svaki član niza osim prava dva jednak zbiru predhodna dva člana, tj.

a_{(n + 2)} =a_n + a_{(n +1)}

Primjer

2, 3,5, 8,... 1, 1, 2, 3, ....

Aritmetički niz

Aritmetički niz je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov

a_{(n +1)} - a_n = a_{(n +2)} -a_{(n +1)}

Primjer

7, 9, 11, 13 ,.....

1,2 ,3, 4, 5, ...

Geometrijski niz

Geometrijski niz je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov

[a_{(n +1)}]² =a_na_{(n +2)}

Tačka gomilanja niza

Neka je ${\displaystyle \epsilon }$ neki pozitivan broj i ${\displaystyle x_{0}\in R}$. Pod ${\displaystyle \epsilon }$ - okolinom tačke ${\displaystyle x_{0}}$, u oznaci ${\displaystyle O_{\epsilon }(x_{0})}$ ili ${\displaystyle O(x_{0})}$ podrazumijevamo skup

${\displaystyle O_{\epsilon }(x_{0})=\{x\in R:|x-x_{0}|<\epsilon \}}$

${\displaystyle \epsilon }$- okolina tačke ${\displaystyle x_{0}}$ je otvoreni interval ${\displaystyle (x_{0}-\epsilon ,x_{0}+\epsilon )}$ dužine ${\displaystyle 2\epsilon }$.

Broj ${\displaystyle \alpha \in R}$ nazivamo tačkom gomilanja niza ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ako svakoj ${\displaystyle \epsilon }$- okolini tačke ${\displaystyle \alpha }$ pripada beskonačno mnogo članova niza ${\displaystyle \{a_{n}\}}$.

Dati niz ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ može imati više tačaka gomilanja

Ograničeni nizovi

Pojam ograničenosti niza je veoma važan u teoriji nizova.

Za niz ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ kažemo da je ograničen odozgo ako postoji konstanta r takva da je ${\displaystyle a_{n}\leq r}$ za sve n. On je ograničen odozdo ako postoji konstanta s takva da je ${\displaystyle a_{n}\geq s}$ za sve n. Niz koji je ograničen odozgo i odozdo, tj. za koji postoje konstante r i s takve da je ${\displaystyle s\leq a_{n}\leq r}$ za sve n, naziva se ograničenim nizom. Tzv. Bolzano-Weierstrassova teorema nam govori da svaki ograničen niz posjeduje barem jednu tačku gomilanja.

Primjer

Niz ${\displaystyle \{(-1)^{n-1}(2+{\frac {3}{n}})\}}$ je ograničen. Za svako n je ${\displaystyle -{\frac {7}{2}}\leq a_{n}\leq 5}$

Monotoni nizovi

Niz brojeva kod kojeg nijedan član nije manji od člana koji mu direktno predhodi, odnosno niz za čija svaka dva susjedna člana vrijedi:

${\displaystyle a_{n}\leq a_{n+1}}$

nazivamo monotono uzlazni (rastući). Naprimjer, niz 1, 2, 3, ... je monotono uzlazni, ali, također, i niz 2, 2, 2, ...

Za niz sa osobinom:

${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$

kažemo da je monotono silazni (opadajući) (npr. niz 5, 4, 4, 3, ...).

Specijalno, za nizove sa karakteristikama:

${\displaystyle a_{n}<a_{n+1}}$
${\displaystyle a_{n}>a_{n+1}}$

kažemo da su strogo monotoni, odnosno strogo uzlazni (rastući) ili strogo silazni (opadajući).

Nizovi funkcija

Za razliku od brojnog niza, čiji su članovi brojevi, funkcionalni nizovi se sastoje od funkcija.

Niz funkcija ${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x),\ldots }$ označavamo kraće sa ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }}$ odnosno ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n\in \mathbf {N} }}$

Konvergencija nizova

Pojam konvergencije niza je jedan od osnovnih pojmova matematičke analize.

Ako je ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ dati niz i ${\displaystyle \alpha }$ realan broj, onda za broj ${\displaystyle \alpha }$ kažemo da je granična vrijednost niza ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ako za svaki ${\displaystyle \epsilon >0}$ postoji prirodan broj ${\displaystyle n_{0}=n_{0}(\epsilon )}$ (koji može da ovisi od ${\displaystyle \epsilon }$) takav da za sve prirodne brojeve ${\displaystyle n>n_{0}}$ vrijedi nejednakost:

${\displaystyle |a_{n}-\alpha |<\epsilon }$

U tom slučaju pišemo ${\displaystyle \lim _{n\longrightarrow \infty }a_{n}=\alpha }$ odnosno ${\displaystyle a_{n}\longrightarrow \alpha }$ kada ${\displaystyle n\longrightarrow \infty }$ i čitamo: ${\displaystyle \alpha }$ je granična vrijednost niza ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ kada n teži u beskonačnost odnosno ${\displaystyle a_{n}}$ konvergira broju ${\displaystyle \alpha }$.

Ako je ${\displaystyle \alpha =0}$, onda niz ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ nazivamo nula niz.

Za niz koji posjeduje graničnu vrijednost kažemo da je konvergentan niz. Niz koji nije konvergentan nazivamo divergentan niz.

Predhodnu definiciju granične vrijednosti niza možemo formulisati i na sljedeći način: Broj ${\displaystyle \alpha }$ naziva se granična vrijednost niza ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ako se u svakoj njegovoj ${\displaystyle \epsilon }$- okolini nalaze gotovo svi članovi niza ${\displaystyle \{a_{n}\}}$, sa eventualnim izuzetkom njih konačno mnogo.

Primjer

Niz ${\displaystyle \{{\frac {2n+1}{n}}\}}$ konvergira broju 2

Konvergentni nizovi su od posebne važnosti jer imaju sljedeće osobine:

• Ako je niz konvergentan, njegova granična vrijednost je ujedno i njegova jedina tačka gomilanja
• Konvergentan niz je ograničen

Za niz ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ kažemo da divergira u ${\displaystyle +\infty }$ ako za svaki realan broj ${\displaystyle A>0}$ postoji prirodan broj ${\displaystyle n_{0}(A)}$ takav da za sve ${\displaystyle n>n_{0}(A)}$ vrijedi: ${\displaystyle a_{n}>A}$, i u tom slučaju pišemo ${\displaystyle \lim _{n\longrightarrow \infty }a_{n}=+\infty }$ odnosno da ${\displaystyle a_{n}\longrightarrow +\infty }$.

Za niz ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ kažemo da divergira u ${\displaystyle -\infty }$ ako za svaki realan broj ${\displaystyle B<0}$ postoji prirodan broj ${\displaystyle n_{0}(B)}$ takav da za sve ${\displaystyle n>n_{0}(B)}$ vrijedi: ${\displaystyle a_{n}<B}$, i u tom slučaju pišemo ${\displaystyle \lim _{n\longrightarrow \infty }a_{n}=-\infty }$ odnosno da ${\displaystyle a_{n}\longrightarrow -\infty }$.

Konvergencija funkcionalnih nizova

U slučaju funkcionalnih nizova, postoji čitav niz različitih oblika konvergencije.

Konvergencija po tačkama

Neka je ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n\in \mathbf {N} }}$ neki niz funkcija definisanih na nekom skupu ${\displaystyle D}$. Ako odaberemo neko proizvoljno ${\displaystyle x_{0}\in D}$, onda stavljajući ${\displaystyle x=x_{0}}$ dobijamo brojni niz ${\displaystyle \{f_{n}(x_{0})\}}$.

Ako ovaj niz (kao brojni niz) konvergira, onda kažemo da niz ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ konvergira u tački ${\displaystyle x_{0}}$.

Ako niz ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ konvergira u svakoj tački ${\displaystyle x\in D}$, onda kažemo da niz konvergira na ${\displaystyle D}$.

Ovaj vid konvergencije niza ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n\in \mathbf {N} }}$ često nazivamo konvergencija po tačkama, konvergencija tačka-po-tačka ili obična konvergencija.

Ravnomjerna (uniformna) konvergencija

Neka su na nekom skupu ${\displaystyle D}$ definisane funkcije ${\displaystyle f_{n}(x)(n=1,2,3,...)}$.

Kažemo da niz ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ ravnomjerno (uniformno) na ${\displaystyle D}$ konvergira ka funkciji ${\displaystyle f(x)}$ ako za svako ${\displaystyle \epsilon >0}$ postoji prirodan broj ${\displaystyle n_{0}=n_{0}(\epsilon )}$ koji zavisi samo od ${\displaystyle \epsilon }$ i takav je da za svako ${\displaystyle x\in D}$ vrijedi

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$ čim je ${\displaystyle n\geq n_{0}}$

Konvergencija gotovo svuda

Ako niz ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ konvergira za gotovo svako ${\displaystyle x\in D}$, osim za njih eventualno konačno mnogo, onda kažemo da niz konvergira gotovo svuda na ${\displaystyle D}$.

Konvergencija u mjeri

Za niz ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle \mu }$- izmjerivih funkcija na prostoru mjere ${\displaystyle (X,M,\mu )}$ kažemo da konvergira u mjeri ${\displaystyle \mu }$ ka funkciji ${\displaystyle f(x)}$, ako za svako ${\displaystyle \epsilon >0}$ vrijedi

${\displaystyle \mu \{x\in X:|f_{n}(x)-f(x)|\geq \epsilon \}\longrightarrow 0}$ kada ${\displaystyle n\longrightarrow \infty }$

Konvergencija u normi

Za niz ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle \mu }$- izmjerivih funkcija na prostoru mjere ${\displaystyle (X,M,\mu )}$ kažemo da konvergira u normi ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle (p\geq 1)}$ ako vrijedi:

${\displaystyle (L)\int _{X}|f_{n}(x)-f(x)|^{p}d\mu \longrightarrow 0}$ kada ${\displaystyle n\longrightarrow \infty }$

Također pogledajte

• Skup (matematika)