Elipsa

Elipsa je zatvorena kriva koja je određena sa dvije poluose: velikom (oznaka: a) i malom (oznaka: b). Oblik elipse definiše se njenim ekscentricitetom (ili eliptičnošću, oznaka: e). Elipsa se može također predstaviti kao kosi presjek ravni i valjka. Tačke F₁ i F₂ nazivaju se fokus. Osobine tački F₁ i F₂ i promjenljive tačke X je da je suma dužina duži F₁X i F₂X uvijek jednaka.

Za druga značenja, pogledajte Elipsa (čvor).

Elipsa:
a = velika poluosa
b = mala poluosa

Površina elipse se računa formulom:

${\displaystyle P=a*b*\pi }$

Dijelovi elipse

1. Tačke ${\displaystyle F_{1}}$ i ${\displaystyle F_{2}}$ zovu se žarišta ili fokusi elipse.
2. Glavna osa elipse je prava kroz žarišta (prava određena tačkama ${\displaystyle F_{1}}$ i ${\displaystyle F_{2}}$)
3. Sredina duži ${\displaystyle F_{1}F_{2}}$ je središte elipse.
4. Sporedna osa je normala na glavnu osu kroz središte elipse.
5. Tačke u kojima ose sijeku elipsu zovu se tjemena.
6. Velika osa je duž ${\displaystyle AB}$.
7. Mala osa je duž ${\displaystyle CD}$.
8. Velike poluose su duži ${\displaystyle AS}$ i ${\displaystyle SB}$.
9. Male poluose su duži ${\displaystyle CS}$ i ${\displaystyle SD}$.
10. Linearni ekscentricitet udaljenost žarišta od središta elipse.
11. Radijus vektori tačke na elipsi su dužine ${\displaystyle F_{1}T}$ i ${\displaystyle F_{2}T}$.

Formule

Tekst zaglavlja	Tekst zaglavlja
osna jednačina	${\displaystyle b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}}$
segmentni oblik	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$
poluparametar	${\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}}$
numerički ekscentricitet	${\displaystyle \varepsilon ={\frac {e}{a}}}$
linearni ekscentricitet	${\displaystyle e^{2}=a^{2}-b^{2}}$
radijus vektor	${\displaystyle r_{1}+r_{2}=2a}$[1]
jednačina tangente	${\displaystyle b^{2}x_{1}x+a^{2}y_{1}y=a^{2}b^{2}}$
uslov da prava ${\displaystyle y=kx+n}$ bude tangenta	${\displaystyle a^{2}k^{2}+b^{2}=n^{2}}$
koordinate tjemena	${\displaystyle (\pm a,0)}$, ${\displaystyle (0,\pm b,)}$,

Osobine

• algebarska zatvorena kriva jedna je od konika
• skup tačaka ravni kojima je zbir udaljenosti od dvije čvrste tačke, žarišta, konstantan.
• Elipsa je simetrična s obzirom na dvije ose (glavne osi) i njihovo sjecište, središte simetrije.
• Žarišta elipse smještena su na velikoj osi simetrično s obzirom na središte, a apscisa im je ${\displaystyle e}$
• Svaka tetiva koja prolazi kroz središte elipse njezin je prečnik.
• Tangenta na elipsu u tački T elipse zatvara jednake uglove sa spojnicama ${\displaystyle r_{1}}$, ${\displaystyle r_{2}}$ tačke T sa žarištima elipse
• Planete se kreću po elipsama kojima se u jednom žarištu nalazi Sunce.

Ekscentricitet

Ekscentricitet je konstanta karakteristična za svaku elipsu. Predstavlja minimalno rastojanje fokusne tačke elipse od elipse, duž ose. Označava se sa ${\displaystyle e}$. i izračunava se kao:

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$^[2]

${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ su dužine poluprečnika elipse. Ako sa ${\displaystyle c}$ označimo rastojanje između fokusnih tačaka elipse dobićemo

${\displaystyle e={\frac {c}{a}}}$

Jednačina

Neka se ose elipse poklapaju sa koordinantnim osama. Jednačina elipse je.

${\displaystyle \displaystyle {\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}}=1}$

Dokaz

Neka nezavisni parametar ${\displaystyle \theta }$ raste od 0 do ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle x^{2}=a^{2}\cos ^{2}\theta .}$

${\displaystyle y^{2}=b^{2}\sin ^{2}\theta .}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}=\cos ^{2}\theta .}$

${\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=\sin ^{2}\theta .}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta .}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$^[3]

Površina i obim

Površina zatvorena elipsom je :${\displaystyle P=ab\pi }$, gdje su ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ polovine velike i male ose, a ${\displaystyle \pi =3,14159...}$ matematička konstanta. Do formule za površinu se dolazi izračunavanjem pomoću integrala.

Dokaz.

Površina elipse je

${\displaystyle P=4\int _{0}^{a}ydx=4\int _{0}^{a}b\cdot {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}dx=[x=a\sin t,\ dx=a\cos tdt]}$

${\displaystyle =4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}b\cdot {\sqrt {\cos ^{2}t}}\cdot \cos tdt=4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}tdt}$

${\displaystyle =4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1+\cos 2t}{2}}dt=4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {dt}{2}}+ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos 2td2t}$

${\displaystyle =4ab\cdot {\frac {\pi }{2}}{\Bigg |}^{\frac {\pi }{2}}+ab\sin 2t{\Bigg |}_{0}^{\frac {\pi }{2}}=ab\pi .}$

Obim ${\displaystyle O}$ elipse je ${\displaystyle 4aE(\varepsilon )}$, gdje je funkcija ${\displaystyle E}$ totalni eliptični integral druge vrste.

Tačan beskonačan red glasi:

${\displaystyle C=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}\varepsilon ^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{\varepsilon ^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{\varepsilon ^{6} \over 5}-\dots }\right];\!\,}$

ili

${\displaystyle C=2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace -\left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{\varepsilon ^{2n} \over 2n-1}\right\rbrace };\,\!}$

Dobra aproksimacija Ramanujanova, a koja glasi:

${\displaystyle C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,}$

ili bolja aproksimacija:

${\displaystyle C\approx \pi \left(a+b\right)\left(1+{\frac {3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}{10+{\sqrt {4-3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}}}}\right);\!\,}$

Za posebni slučaj, gdje je mala osa polovine velike ose, možemo koristiti:

${\displaystyle C\approx {\frac {\pi a(9-{\sqrt {35}})}{2}};\!\,}$

ili

${\displaystyle C\approx {\frac {a}{2}}{\sqrt {93+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}};\!\,}$ (better approximation).

Općenitije, dužina luka dijela obima, kao funkcija obuhvatnog ugla, data je nepotpunim eliptičkim integralom. Inverzna funkcija, obuhvatni ugao kao funkcija dužine luka, je data preko eliptičkih funkcija.

Zbir rastojanja tačke elipse od žiža

Zbir rastojanja ma koje tačke elipse od njenih žiža, fokusa ${\displaystyle F_{1}}$ i ${\displaystyle F_{2}}$ je konstantan i iznosi ${\displaystyle 2a}$

Dokaz

Ako je ${\displaystyle M(x,y)}$ proizvoljna tačka elipse, ${\displaystyle N}$ podnožje normale iz te tačke na direktrisu ${\displaystyle d}$, a ${\displaystyle N^{\prime }}$ podnožje normale na direktrisu ${\displaystyle d^{\prime }}$ , onda je

${\displaystyle {\overline {FM}}=e\cdot {\overline {MN}},\ {\overline {F^{\prime }M}}=e\cdot {\overline {MN^{\prime }}},}$

${\displaystyle e\in (0,1)}$ je ekscentricitet elipse

${\displaystyle {\overline {FM}}+{\overline {F^{\prime }M}}=e\cdot ({\overline {MN}}+{\overline {MN^{\prime }}})}$.

Zbir u zagradi desno je rastojanje između direktrisa, koje iznosi ${\displaystyle e*2*(a/e)}$, pa je

${\displaystyle {\overline {FM}}+{\overline {F^{\prime }M}}=e\cdot {\frac {a}{e}}=2a,}$

Također pogledajte

• Ekscentricitet

Izvori

Ellipses

Ellipse

Ellipse, 7 February 2011 by 127.0.0.1

Analitička geometrija ravnine – osnovne formule