Fibonaccijevi polinomi

U matematici, Fibonaccijevi polinomi su polinomski niz koji se može smatrati kao generalizacija Finonaccijevih brojeva.

Definicija

Ovi polinomi su definisani sa relacijom ponavljanja^[1]:

${\displaystyle F_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{ako je}}n=0\\1,&{\mbox{ako je }}n=1\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{ako je }}n\geq 2\end{cases}}}$

Osobine

Prvih par Fibonaccijevih polinoma su:^[2]

${\displaystyle F_{1}(x)=1\,}$

${\displaystyle F_{2}(x)=x\,}$

${\displaystyle F_{3}(x)=x^{2}+1\,}$

${\displaystyle F_{4}(x)=x^{3}+2x\,}$

${\displaystyle F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,}$

${\displaystyle F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,}$

Fibonaccijevi brojevi se dobijaju izračunavanjem vrijednosti polinoma u x = 1. Stepen od F_n je n-1. Obična generativna funkcija za niz glasi^[3]

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}.}$

Lucasovi polinomi

Odgovarajući Lucasovi polinomi L_n(x) ima slične veze sa Lucasovim brojevima. Oni zadovoljavaju istu relaciju ponavljanja, sa različitim početnim vrijednostima:^[4]

${\displaystyle L_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{ako je }}n=0\\x,&{\mbox{ako je }}n=1\\xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),&{\mbox{ako je }}n\geq 2\end{cases}}}$

Prvih par Lucasovih polinoma su:

${\displaystyle L_{1}(x)=x\,}$

${\displaystyle L_{2}(x)=x^{2}+2\,}$

${\displaystyle L_{3}(x)=x^{3}+3x\,}$

${\displaystyle L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,}$

${\displaystyle L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,}$

${\displaystyle L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2\,}$

Lucasovi brojevi dobijaju se izračunavanjem polinoma u x = 1. Stepen od L_n je n. Obična generativna funkcija za niz glasi

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }L_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}.}$