Oduzimanje

Oduzimanje je jedna od četiri osnovne aritmetičke operacije. Suprotna je operacija sabiranja što znači ako broju ${\displaystyle x}$ dodamo ${\displaystyle y}$ i od dobijenog broja oduzmemo ${\displaystyle y}$ ponovno ćemo dobiti ${\displaystyle x}$. Oduzimanje se označava znakom "-" minus. Za oduzimanje ne vrijedi komutativnost pa dajemo imena članovima. To su umanjenik, umanjilac i razlika. U jednačini ${\displaystyle a-b=c}$, a je umanjenik, b umanjilac, a c razlika.

• 
  ${\displaystyle 5-3=2}$
• 

Oduzimanje: cijeli brojevi

Zamislimo duž dužine b gdje je lijevi kraj označen sa slovom a, a desni kraj slovom c. Počevši od a, potrebno je b koraka udesno da dođemo do c. Ovakvo kretanje matematički se opisuje kao sabiranje.

${\displaystyle a+b=c}$

Od c je potrebno b koraka ulijevo da se vratimo do a. Ovakvo kretanje matematički se opisuje kao oduzimanje.

${\displaystyle c-a=b}$

Zamislimo dužinu označenu sa brojevima 1,2 i 3. Od položaja 3, nisu potrebni koraci ulijevo da se ostane na 3, dakle :${\displaystyle 3-0=3}$

Potrebna su dva koraka ulijevo da se dođe do položaja 1, dakle :${\displaystyle 3-2=1}$. Slika je neodgovarajuća da se prikaže što bi se dogodilo nakon 3 koraka ulijevo. Da bi se to prikazalo potrebno je produžiti duž.

Za oduzimanje prirodnih brojeva potrebno je početi sa polupravom koja sadrži sve prirodne brojeve:${\displaystyle (0,1,2,3,4,5,...)}$

Od 3, potrebno je napraviti 3 koraka ulijevo da se dođe na 0, dakle

${\displaystyle 3-0=3}$.

${\displaystyle 3-4}$ nije moguće prikazati jer prelazi početak poluprave.

Rješenje je prava sa cijelim brojevima:${\displaystyle (...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...)}$. Od 3, potrebno je 4 koraka ulijevo da se dođe do -1

${\displaystyle 3-4=-1}$

Oduzimanje kao sabiranje

Postoje slučajevi gdje oduzimanje kao posebna računska operacija postaje problematična. Primjer

${\displaystyle 5-(-3)}$ oduzimanje -3 od 5) nije odmah očito na brojnoj pravoj jer nam nije odmah jasno šta znači pomaknuti se ${\displaystyle -2}$-koraka ulijevo. Jedno rješenje je prikazati oduzimanje kao sabiranje. Dodatni znak minusa označava inverziju sabiranja.

Tada imamo

${\displaystyle 5-(-3)=5+3=8}$

Komutativnost i asocijativnost

Ne važi komutativnost

${\displaystyle a-b=a+(-b)=(-b)+a=-(b-a)}$

Ne važi asocijativnost

${\displaystyle (a-b)-c\neq a-(b-c)}$

Načini oduzimanja sa potpisivanjem

Austrijska metoda

• 
  ${\displaystyle 1+...=3}$
• 
  ${\displaystyle 3-1=2}$
• 
  ${\displaystyle 9+...=5}$
• 

• 
  ${\displaystyle 9+...=15}$
• 
  ${\displaystyle (4+1)+...=7}$
• 
• 

Oduzimanje s lijeva na desno

• 
  ${\displaystyle 7-4=3}$
• 
• 
  ${\displaystyle 15-9=6}$
• 
• 
  ${\displaystyle (3-1=2}$

Američka metoda

• 
  ${\displaystyle 3-1=...}$
• 
• 
  ${\displaystyle 5-9=...}$
• 
• 
  ${\displaystyle 15-9=...}$

• 
  ${\displaystyle 6-4}$
• 
• 

Još jedan način ovog oduzimanja

• 
  ${\displaystyle 1-3}$
• 
  ${\displaystyle 4-9}$
• 
  ${\displaystyle 11-3=8}$
• 
  ${\displaystyle 14-9=5}$
• 
  ${\displaystyle 6-7=2}$

Djelimična razlika

• 
  ${\displaystyle 700-400=300}$
• 
  ${\displaystyle 90-50=40}$
• 
  ${\displaystyle 3-1=2}$
• 
  ${\displaystyle 300-40+2}$

Oduzimanje bez potpisivanja

Brojanje do

${\displaystyle 1234-567=}$

${\displaystyle 567+3=570}$

${\displaystyle 570+30=600}$

${\displaystyle 600+400=1000}$

${\displaystyle 1000+234=1234}$

${\displaystyle 3+30+400+234=667}$

Razbijanjem umanjioca

${\displaystyle 1234-500=734}$

${\displaystyle 734-60=674}$

${\displaystyle 674-7=667}$

Jednaka promjena

Dodavanjem ili oduzimanjem istog broja umanjeniku i umanjiocu rezultat se ne mijenje.

${\displaystyle 1234-567=1237-570=1267-600=667}$

Izvori

• Browell, W. A. (1939). Learning as reorganization: An experimental study in third-grade arithmetic, Duke University Press.
• Subtraction in the United States: An Historical Perspective, Susan Ross, Mary Pratt-Cotter, The Mathematics Educator, Vol. 8, No. 1 (original publication) and Vol. 10, No. 1 (reprint.) https://web.archive.org/web/20170811133911/http://math.coe.uga.edu/tme/issues/v10n2/5ross.pdf