Paraboloid

Paraboloid je geometrijsko tijelo, njegovi rezovi ravni su dvije parabole i elipsa ili hiperbola.

Pojmom paraboloid biva označen omotač navedenog tijela.

Eliptični paraboloid

Eliptični parabolid

Eliptični paraboloid je tijelo, čija baza ima eliptični oblik.

Algebarski model

Eliptični paraboloid s vrhom u tački ${\displaystyle [x_{0},y_{0},z_{0}]}$ i ravni simetrije paralelnim s ravni ${\displaystyle x=0}$ i ${\displaystyle y=0}$ ima jednačinu

${\displaystyle z-z_{0}={\frac {{(x-x_{0})}^{2}}{2p}}+{\frac {{(y-y_{0})}^{2}}{2q}}}$,

gdje ${\displaystyle pq>0}$.

Rotacioni paraboloid

Rotacioni paraboloid

Rotacioni paraboloid je tijelo omeđeno prostorom, koji nastane rotacijom parabole oko njene ose i krugom, koji tvori bazu tijela.

Alegebarski model

Rotacioni paraboloid s vrhom u tački ${\displaystyle [x_{0},y_{0},z_{0}]}$ je specijalan slučaj eliptičnog parabolida, za koji vrijedi ${\displaystyle p=q}$, to znači za rotacioni paraboloid s osoom rotacije paralelnoj s osom ${\displaystyle z}$ vrijedi

${\displaystyle 2p(z-z_{0})={(x-x_{0})}^{2}+{(y-y_{0})}^{2}}$.

Osobine

Volumen rotacionog paraboloida je

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\pi \rho ^{2}h}$,

gdje ${\displaystyle \rho }$ je poluprečnik kružne baze i ${\displaystyle h}$ je visina paraboloida.

Hiperbolički paraboloid

Hiperbolički paraboloid

Osim eliptičnog postoji i hiperbolički paraboloid.

Algebarski model

Hyperbolický paraboloid s vrhom u tački ${\displaystyle [x_{0},y_{0},z_{0}]}$ i ravni simetrije paralelne s ravni ${\displaystyle x=0}$ i ${\displaystyle y=0}$ ima jednačinu

${\displaystyle z-z_{0}={\frac {{(x-x_{0})}^{2}}{2p}}-{\frac {{(y-y_{0})}^{2}}{2q}}}$,

gdje ${\displaystyle pq>0}$.

Osobine

U oblasti hiperboličkog parabolida postoje dva sistema pravih, pri čemu svaka prava jednog sistema presijeca svaku pravu drugog sistema, ili proizvoljne dvije prave jednog sistema su mimoilazne. Za paraboloid se centrom u tački ${\displaystyle [0,0,0]}$ mogu se oba sistema pravih zapisati kao

${\displaystyle k_{1}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}+{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)={\frac {p}{|p|}}k_{2}z}$

${\displaystyle k_{2}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}-{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)=k_{1}}$

${\displaystyle k_{1}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}-{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)={\frac {p}{|p|}}k_{2}z}$

${\displaystyle k_{2}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}+{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)=k_{1}}$

Također pogledajte

• Parabola

Vanjski linkovi

• Paraboloid na Wikimedia Commonsu