Rocheova granica

U nebeskoj mehanici Rocheova granica, nazvana i Rocheov radijus, jest udaljenost od nebeskog tijela unutar koje će se drugo nebesko tijelo, koje se drži na okupu samo vlastitom silom gravitacije, raspasti jer plimne sile prvog tijela premašuju autogravitaciju drugog tijela.^[1] Na ovoj udaljenosti privlačne gravitacijske sile između malih tijela izjednačavaju se s plimnim silama planete, koje teže rastezanju tijela. Ako su planeta i njen satelit iste gustoće, Rocheova granica iznosi 2.456 poluprečnika planete. Stapanje manjih tijela u planetarne satelite nemoguće je unutar Rocheove granice. Već formirana tijela ipak mogu opstati zbog drugih vezivnih sila u materijalu, uz gravitacijske.

Izračunavanje Rocheove granice

Rigidni satelit:

${\displaystyle d=R\left(2\;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.260R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

gdje je ${\displaystyle R}$ poluprečnik planete, ${\displaystyle \rho _{M}}$ je gustina planete, dok je ${\displaystyle \rho _{m}}$ gustina satelita.

Tečni satelit:

${\displaystyle d\approx 2.423R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

Deriviranje formule za Rocheovu granicu

${\displaystyle F_{G}={\frac {Gmu}{r^{2}}}}$

Plimna sila ${\displaystyle F_{P}}$ na masu ${\displaystyle u}$ prema planeti ili primarnom tijelu s poluprečnikom ${\displaystyle R}$ i udaljenošću ${\displaystyle d}$ između centara dva tijela može se napisati sljedećom jednačinom :

${\displaystyle F_{P}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}$

Rocheova granica je dostignuta kada je gravitaciona sila jednaka plimnoj:

${\displaystyle F_{G}=F_{P}}$

ili

${\displaystyle {\frac {Gmu}{r^{2}}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}$

Iz koje se brzo dobija Rocheova granica, d kao:

${\displaystyle d=r\left(2M/m\right)^{\frac {1}{3}}}$

Pošto poluprečnik satelita nije potreban u formuli, ovo se može izraziti koristeći specifične gustoće dva dijela:

Za okruglu masu ${\displaystyle M}$ može se napisati

${\displaystyle M={\frac {4\pi \rho _{M}R^{3}}{3}}}$ gdje ${\displaystyle R}$ poluprečnik planete ili osnovnog tijela

Također:

${\displaystyle m={\frac {4\pi \rho _{m}r^{3}}{3}}}$ gdje ${\displaystyle r}$ poluprečnik satelita

${\displaystyle d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\rho _{m}r^{3}}}\right)^{1/3}}$

podjednostavljeno:

${\displaystyle d=R\left(2\;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

Primjer

Osnova	Gustoća (kg/m3)	Poluprečnik (m)
Sunce	1,400	695,000,000
Jupiter	1,330	71,500,000
Zemlja	5,515	6,376,500
Mjesec	3,340	1,737,400

Tijelo	Satelit	Rocheova granica (krutina)		Rocheova granica (tečnost)
		Udaljenost (m)	Poluprečnik	Udaljenost (m)	Poluprečnik
Zemlja	Mjesec	9,495,665	1.49	18,261,459	2.86
Zemlja	Kometa	17,883,432	2.80	34,392,279	5.39
Sunce	Zemlja	554,441,389	0.80	1,066,266,402	1.53
Sunce	Jupiter	890,745,427	1.28	1,713,024,931	2.46
Sunce	Mjesec	655,322,872	0.94	1,260,275,253	1.81
Sunce	Kometa	1,234,186,562	1.78	2,373,509,071	3.42

Također pogledajte

• Crna rupa
• Triton (mjesec)