From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques, una funció o aplicació bijectiva també anomenada simplement una bijecció és una funció f d'un conjunt X a un conjunt Y (f:X → Y) amb la propietat que per a cada y de Y hi ha exactament un x de X tal que .[1]
Desglossant aquesta propietat en d'altres importants podem dir que f és bijectiva si és una correspondència tal que tots els elements del domini tenen imatge (és a dir, és una funció), tots els elements del recorregut tenen una única antiimatge, (és a dir, és una funció injectiva) i al mateix temps tots els elements del codomini són al recorregut perquè són imatge d'algun element del domini (és a dir, és una funció suprajectiva). En definitiva, una funció injectiva i exhaustiva.[2][3]
D'una bijecció també se'n diu una permutació. Tot i que això es fa servir més habitualment quan . El conjunt de totes les bijeccions de X en Y es denota com a . De fet, quan existeix alguna bijecció entre dos conjunts X i Y es diu que aquests són equipotents i es nota . La relació d'equipotència és d'equivalència i conserva moltes propietats, com el cardinal.
Les funcions bijectives tenen un paper fonamental en moltes àrees de les matemàtiques, per exemple en la definició d'isomorfismes (i conceptes relacionats com els homeomorfismes i els difeomorfismes), grup de permutacions, projectivitats, i molts altres.
Una funció f:X → Y és bijectiva si i només si la seva funció inversa f−1: Y → X és una funció. En aquest cas, f−1 també és bijectiva.
La composició de dues funcions bijectives f:X → Y i g:Y → Z és una funció bijectiva. La inversa de és .
Per altra banda, si la composició g∘f de dues funcions és bijectiva, només es pot assegurar que f és injectiva i que g és suprajectiva.
Si X i Y són conjunts finits, llavors hi ha una bijecció entre els dos conjunts X i Y (és a dir, són equipotents) si i només si X i Y tenen el mateix nombre d'elements. De fet, en la teoria axiomàtica de conjunts, això es pren com a l'autèntica definició de "mateix nombre d'elements", i generalitzant aquesta definició al cas de conjunts infinits porta al concepte de nombre cardinal, una forma de distingir les diferents grandàries dels conjunts infinits.
Quan existeix una bijecció entre dos conjunts finits X i Y, llavors tota funció injectiva entre ells és suprajectiva i tota funció suprajectiva és injectiva;[4] per tant, en aquest cas el conjunt de les funcions de X a Y està format per la unió disjunta de les bijeccions entre X i Y i les aplicacions entre aquests dos conjunts que no són ni injectives ni suprajectives.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.