From Wikipedia, the free encyclopedia
L'arrel quadrada de 3 és l'únic nombre positiu que multiplicat per si mateix dona 3. Es denota com . El seu valor numèric amb deu xifres decimals és:
Tipus | constant matemàtica, nombre irracional, arrel quadrada i quadratic irrational (en) |
---|---|
Propietats | |
Valor | 1,7320508075689 |
Altres numeracions | |
Binari | 1.1011101101100111101... |
Hexadecimal | 1.BB67AE8584CAA73B.... |
Fórmules | |
Expressió algebraica | |
Fració contínua |
L'arrel quadrada de 3 és un nombre irracional. També es coneix com la constant de Teodor, en honor del filòsof grec Teodor de Cirene.
Si es té un triangle equilàter de costat la unitat, i es traça una bisectriu qualsevol, s'obtenen dos triangles que tenen com a hipotenusa 1, i els catets de 1/2 i √3/2 respectivament. D'aquí es té que la tangent de l'angle de 60º (o π/3) sigui igual a l'arrel de 3.
Aquesta és també la distància entre els dos costats paral·lels d'un hexàgon regular de costat la unitat, com es mostra en el dibuix.
L'arrel de 3 també és igual a la diagonal interior d'un cub els costats del qual tinguin com a mesura la unitat. Això pot ser demostrat mitjançant el teorema de Pitàgores de la següent manera:
Com que els costats d'una de les bases del cub també formen triangles rectangles, llavors podem obtenir la mesura de la diagonal de la cara mitjançant el teorema de Pitàgores:
Ara considerarem el triangle que té com a catets la diagonal de la cara i una aresta del cub. La hipotenusa d'aquest triangle rectangle serà la diagonal interna del cub. El seu valor també el podrem conèixer mitjançant el teorema de Pitàgores.
Quedant, doncs, demostrat que la diagonal interior d'un cub que té la unitat com a mesura de l'aresta, és igual a l'arrel quadrada de 3.
De manera natural sorgeix l'arrel quadrada de 3 en el sinus de l'angle de 60º; i complementàriament en el cosinus de 30º. També usant la circumferència goniomètrica apareix l'arrel quadrada de 3 en definir el sinus i el cosinus de 120º i 240º. A més, en el pla complex les arrels cúbiques complexes d'1 també comporten l'arrel de 3.
La irracionalitat de l'arrel quadrada de 3 es pot demostrar mitjançant un argument semblant al que s'utilitza per demostrar la irracionalitat de l'arrel quadrada de dos. Es fonamenta en la reducció a l'absurd.
Es parteix de la hipòtesi que l'arrel de 3 és un nombre racional, i que per tant es compleix que:
essent p i q nombres primers entre ells. Llavors, si p² és múltiple de 3, també p ho ha de ser, per tant:
i per tant, es té que també q és múltiple de 3, fet que contradiu la premissa principal segons la qual p i q eren primers entre ells.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.