Extensió d'Alexandroff
espai totpològic / From Wikipedia, the free encyclopedia
En el camp matemàtic de la topologia, l'extensió d'Alexandroff és una forma d'estendre un espai topològic no compacte mitjançant l'addició d'un sol punt, donant com a resultat un espai compacte. Aquest concepte rep el nom del matemàtic rus Pavel Alexàndrov.
Més en concret, sigui X un espai topològic. Es defineix l'extensió d'Alexandroff de X com un cert espai compacte X* juntament amb un embedding obert c: X → X* tal que el complement de X dins X* consisteix d'un sol punt, denotat habitualment per ∞. L'aplicació c és una compactificació Hausdorff si i només si X és un espai de Hausdorff no compacte, però localment compacte. Per a aquest tipus d'espais, hom diu que l'extensió d'Alexandroff és la compactificació d'Alexandroff o la compactificació d'un punt. Els avantatges de la compactificació d'Alexandroff rauen en la seva estructura simple i, sovint, geomètricament significativa, i en el fet que és la mínima compactificació entre totes les possibles; per altra banda, el desavantatge és que només proporciona una compactificació Hausdorff sobre la classe d'espais Hausdorff no compactes i alhora localment compactes, al contrari que la compactificació de Stone-Čech, que existeix per a qualsevol espai de Tychonoff, una classe molt més àmplia d'espais.