Introducció a la teoria de grups
From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques, la teoria de grups estudia els grups. Un grup és una estructura algebraica que consta d'un conjunt juntament amb una operació que combina qualsevol parella dels seus elements per formar un tercer element. Perquè es pugui qualificar de grup, el conjunt i operació han de satisfer unes quantes condicions anomenades axiomes de grup, aquestes condicions són: tenir la propietat associativa, tenir element identitat i element invers. Mentre que aquestes característiques són familiars a moltes estructures matemàtiques, com ara els diferents sistemes de nombres (per exemple els enters dotats de l'operació d'addició formen una estructura de grup), la formulació dels axiomes se separa de la natura concreta del grup i el seu funcionament. Això permet, en àlgebra abstracta i altres camps, manejar entitats d'orígens matemàtics molt diferents d'una manera flexible, mentre es conserven aspectes estructurals essencials de molts objectes. La ubiqüitat dels grups en nombroses àrees (tant dintre com fora de les matemàtiques) els converteix en un principi central entorn del qual s'organitzen les matemàtiques contemporànies.[1][2]
Aquest article conté una introducció a les nocions bàsiques. Per un enfocament tècnic avançat es desenvolupa a l'article teoria de grups. |
Els grups comparteixen un parentiu fonamental amb la noció de simetria. Un grup de simetria codifica les característiques de simetria d'un objecte geomètric: consisteix en el conjunt de transformacions que deixen inalterat l'objecte, i l'operació de combinar dues d'aquestes transformacions realitzant-ne una després de l'altre. Tals grups de simetria, especialment els Grups de Lie continus, tenen un paper important en moltes disciplines acadèmiques. Els grups de matrius, per exemple, es poden fer servir per entendre les lleis físiques fonamentals en què es basen la relativitat i els fenòmens de simetria en la química molecular.
El concepte d'un grup va sorgir de l'estudi d'equacions polinòmiques, començant amb Évariste Galois durant els anys 1830. Després de contribucions des d'uns altres camps com la teoria de nombres i la geometria, la noció de grup es va generalitzar i s'establí fermament al voltant de 1870. La moderna teoria de grups (una disciplina matemàtica molt activa) estudia els grups per se.[lower-alpha 1] per a explorar els grups, els matemàtics han ideat diverses nocions dividir grups en trossos més petits, més comprensibles, com ara subgrups, grups quocient i grups simples. A més a més de les seves propietats abstractes, els teòrics dels grups també estudien les maneres diferents en què un grup es pot expressar en forma concreta (les seves representacions de grup), tant des d'un punt de vista teòric com d'un punt de vista computacional. Una teoria especialment rica s'ha desenvolupat per a grups finits, que va culminar amb la classificació dels grups simples finits completada el 1983.