Conjunt dens

Sigui ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ un espai topològic; ${\displaystyle A\subset X}$ és un conjunt dens a ${\displaystyle X\;}$ si i només si ${\displaystyle {\bar {A}}=X\;}$, és a dir, la clausura del conjunt és tot l'espai.^[1][2][3]

Es compleix que les següents proposicions per ${\displaystyle A}$ són totes equivalents:

1. ${\displaystyle A}$ és dens a ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle A\subset B,B}$ tancat ${\displaystyle \Rightarrow B=X}$
3. ${\displaystyle \forall V\in {\mathcal {T}},A\cap V=\varnothing \Rightarrow V=\varnothing }$

Exemples

• Tot espai topològic és dens en si mateix.
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ i ${\displaystyle \mathbb {I} }$ són subconjunts densos de ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Els polinomis són densos en el conjunt ${\displaystyle C[a,b]}$ de les funcions contínues definides en ${\displaystyle [a,b]}$, dotat de la topologia associada a la distància ${\displaystyle D_{\infty }(f,g)=\max _{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)|}$.

Espai separable

Si ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ conté un dens numerable es diu que és un espai topològic separable. Exemples d'espais separables són ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ i ${\displaystyle C([0,1],\mathbb {R} )}$ (l'espai de les funcions contínues que van de ${\displaystyle [0,1]}$ a ${\displaystyle \mathbb {R} }$).

Bibliografia

• Nicolas Bourbaki. General Topology, Chapters 1–4. Springer-Verlag, 1989. ISBN 3-540-64241-2. (anglès)
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr.. Counterexamples in Topology. Dover reprint of 1978. Berlín, Nova York: Springer-Verlag, 1995. ISBN 978-0-486-68735-3. (anglès)