Convergència absoluta

En matemàtiques, una sèrie (o de vegades una integral) de números es diu que convergeix absolutament si la suma dels valors absoluts dels termes (o integrands) és finita.^[1]

Definició formal

Es diu que ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ és absolutament convergent si la sèrie ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|<\infty }$.

En altres paraules, la sèrie és absolutament convergent si la sèrie de valors absoluts és una sèrie convergent.^[1]

Convergència absoluta

La convergència absoluta implica la convergència, però l'afirmació recíproca no és certa.^[2]

Demostració

Suposem que ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$ convergeix, i que ${\displaystyle a_{n}\leq |a_{n}|}$. Aleshores, pel criteri de comparació, si ${\displaystyle |a_{n}|}$ convergeix, llavors ${\displaystyle a_{n}}$ també ho fa. Per les propietats del valor absolut, podem considerar: ${\displaystyle -|a_{n}|\leq a_{n}\leq |a_{n}|}$ Sumem ${\displaystyle |a_{n}|}$ terme a terme en la desigualtat: ${\displaystyle |a_{n}|-|a_{n}|\leq a_{n}+|a_{n}|\leq |a_{n}|+|a_{n}|}$ És a dir, ${\displaystyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$. Ara apliquem ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}$ membre a membre: ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }0\leq \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}+|a_{n}|\leq \sum _{n=0}^{\infty }2|a_{n}|}$ Per hipòtesi, ${\displaystyle 2\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$ convergeix. Llavors, pel criteri de comparació, ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}+|a_{n}|}$ també convergeix.(1) Ara, considerem ${\displaystyle a_{n}=a_{n}+|a_{n}|-|a_{n}|}$: ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }[a_{n}+|a_{n}|-|a_{n}|]}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }[a_{n}+|a_{n}|]-\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }[a_{n}+|a_{n}|]}$ convergeix per (1). ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$ convergeix per hipòtesi. Aleshores ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ convergeix per ser diferència de sèries convergents.

Convergència condicional

Si la sèrie ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ és convergent però no absolutament convergent, hom diu que la sèrie és condicionalment convergent. Això succeeix quan ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$ és divergent.^[3]