Nombre e

La constant matemàtica e és la base dels logaritmes naturals,^[1][2] és l'únic nombre el logaritme natural del qual és 1. És considerat el nombre per excel·lència del càlcul de la mateixa manera que el nombre ${\displaystyle \pi }$  ho és de la geometria. El nombre e s'anomena a vegades constant d'Euler, en honor del matemàtic suís Leonhard Euler i també constant de Napier,^[3] en honor del matemàtic escocès John Napier que va introduir els logaritmes.

No s'ha de confondre amb Constant d'Euler-Mascheroni.

Nombre e

Tipus	nombre transcendent, nombre real, nombre irracional i constant matemàtica
Epònim	Leonhard Euler i John Napier
Propietats
Valor	2,718281828459
Altres numeracions
Fórmules
Expressió algebraica	${\displaystyle \mathrm {e} =\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ i ${\displaystyle \mathrm {e} =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}$

El gràfic y=1/x, i e és el nombre que fa l'àrea igual a 1.

El número e té una importància eminent en matemàtiques^[4] al costat de 0, 1, π i i.^[5][6] Els cinc apareixen en una formulació de la identitat d'Euler i tenen un paper important i recurrent en les matemàtiques. Igual que la constant π, e és irracional (és a dir, no es pot representar com una proporció de nombres enters) i transcendent (és a dir, no és una arrel de cap polinomi diferent de zero amb coeficients racionals). Les primeres xifres de la seva expressió decimal il·limitada són 2,7182818284590.^[7] És un nombre present en múltiples camps de la ciència i la tècnica. Intervé, per exemple en el càlcul de la velocitat de buidatge d'un dipòsit d'aigua, en el gir d'un penell enfront d'una ràfega de vent o el moviment del sistema amortidor d'un automòbil.

Definició

El nombre e es defineix com el límit de la successió ${\displaystyle n\mapsto \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$.^[3] Aquest límit existeix, ja que la successió és creixent i limitada per sobre.

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

Aquesta expressió del nombre e apareix en l'estudi de l'interès compost. El nombre e apareix en múltiples camps de les matemàtiques, des de la teoria de la probabilitat a l'anàlisi complexa. El seu valor aproximat per truncament als 50 decimals és 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995

El nombre e es pot definir també mitjançant la sèrie infinita

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots }$

on n! és el factorial de n. Aquesta sèrie convergeix puix que hom té

${\displaystyle 1+1+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots \leq 1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots =3,}$

és a dir, el desenvolupament en sèrie de e és majorat mitjançant una sèrie geomètrica que és convergent perquè té una raó igual a 1/2.

Finalment, es pot considerar e com a l'única solució positiva x de l'equació integral

${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={1}.}$

Es pot demostrar que aquestes definicions són equivalents.

La funció exponencial ${\displaystyle x\longmapsto e^{x}}$és important ja que és l'única (a menys de multiplicació per constants) funció que és igual a la seva derivada, i s'usa habitualment per a modelitzar processos de creixement o decreixement.

La fracció contínua de e conté una estructura interessant, com es mostra a continuació:

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12...]\,}$

Història

Les primeres referències a la constant es van publicar el 1618 a la taula d'un apèndix d'un treball sobre logaritmes de John Napier.^[8] Tanmateix no contenia la constant en si, sinó simplement una llista de logaritmes calculats a partir de la constant. Se suposa que la taula va ser escrita per William Oughtred. El propi descobriment de la constant s’acredita a Jacob Bernoulli el 1683,^[9] que va intentar trobar el valor de la següent expressió (que és igual a e):

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

El primer ús conegut de la constant, representat per la lletra b, fou en correspondència de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens el 1690 i el 1691.^[10] Leonhard Euler va introduir la lletra e com a base per als logaritmes naturals, escrivint en una carta a Christian Goldbach el 25 de novembre de 1731.^[11] Euler va començar a utilitzar la lletra e per a la constant el 1727 o el 1728, en un document inèdit sobre les forces explosives en canons, mentre que la primera aparició d'e en una publicació va ser a Mechanica, sive motus scientia analytica exposita (1736).

Propietats

Càlcul

Com en la motivació, la funció exponencial e^x és important en part perquè és l'única funció (llevat de multiplicació per una constant K) que és igual a la seva pròpia derivada:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}Ke^{x}=Ke^{x},}$

i per tant també és igual a la seva pròpia primitiva:

${\displaystyle \int Ke^{x}\,dx=Ke^{x}+C.}$

Equivalentment, la família de funcions

${\displaystyle y(x)=Ke^{x}}$

on K és un nombre complex qualsevol, és la solució completa a l'equació diferencial

${\displaystyle y'=y.}$

Desigualtats

Funcions exponencials y = 2^x i y = 4^x intersecten la gràfica de y = x + 1, respectivament, a x = 1 i a x = -1/2. El nombre e és l'única base tal que y = e^x intersecta només a x = 0. Es pot inferir que e es troba entre el 2 i el 4.

El nombre e és l'únic nombre real tal que

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}}$

per tot x positiu.^[12]

També existeix la següent desigualtat

${\displaystyle e^{x}\geq x+1}$

per tot x real, i hi ha igualtat si i només si x = 0. A més, e és l'única base de l'exponencial per la qual la desigualtat a^x ≥ x + 1 és vàlida per tot x.^[13] Això és un cas límit de la desigualtat de Bernoulli.

Funcions de tipus exponencial

El màxim global de ^x√x es dona a x = e.

El problema de Steiner consisteix a trobar el màxim global de la funció

${\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{x}}.}$

Aquest màxim es dóns precisament a x = e. (Es pot comprovar que la derivada de ln f(x) és zero només per aquest valor de  x.)

Similarment, x = 1/e és quan hi ha el mínim global de la funció

${\displaystyle f(x)=x^{x}.}$

La tetració infinita

${\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$ o ${\displaystyle {^{\infty }}x}$

congergeix si i només si x ∈ [(1/e)^e, e^1/e] ≈ [0.06599, 1.4447] ,^[14][15] demostrat per un teorema de Leonhard Euler.^[16]

Teoria de nombres

El nombre real e és irracional. Euler ho va demostrar observant que la seva expansió en fracció contínua no acaba mai.^[17] (Vegi's també la demostració que e és irracional de Fourier.)

A més, a partir del teorema de Lindemann-Weierstrass, e és transcendent, en el sentit que no és solució de cap equació polinomial no-sero amb coeficients racionals. Va ser el primer nombre del qual es va demostrar aquesta propietat sense haver estat específicament demostrat amb aquest propòsit (compari's amb el nombre de Liouville); la demostració va ser a càrrec de Charles Hermite l'any 1873.

S'ha conjecturat que e és un normal, en el sentit que quan e s'expressa en qualsevol base els possibles dígits en aquella base estan distribuïts uniformement (apareixen en igual probabilitat en qualsevol seqüència d'una longitud donada).

S'ha conjecturat que e no és un període de Kontsevich-Zagier.^[18]

Nombres complexos

Es pot escriure la funció exponencial e^x com una expansió en sèrie de Taylor

${\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$

Com que la sèrie és convergent per tot valor complex de x, s'utilitza habitualment per estendre la definició de e^x als nombres complexos. Això, juntament amb la sèrie de Taylor per al sin i cos x, permet derivar la fórmula d'Euler:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

que és vàlid per tot valor complex de x. El cas particular amb x = π és la identitat d'Euler:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0,}$

de la qual segueix que, en la branca principal del logaritme,

${\displaystyle \ln(-1)=i\pi .}$

A més, utilitzant les lleis de l'exponenciació,

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),}$

que és la fórmula de De Moivre.

Es poden deduir les expressions de cos x i sin x en termes de la funció exponencial a partir de la sèrie de Taylor:

${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.}$

L'expressió

${\displaystyle \cos x+i\sin x}$

és sovint abreviada com cis(x).

Dígits coneguts

El nombre dels dígits coneguts de e ha augmentat substancialment durant les darreres dècades. Això es deu tant a la millora dels ordinadors així com la dels algorismes.^[19][20]

Nombre de dígits decimals coneguts de e

Data	Dígits decimals	Càlcul fet per
1690	1	Jacob Bernoulli[21]
1714	13	Roger Cotes[22]
1748	23	Leonhard Euler[23]
1853	137	William Shanks[24]
1871	205	William Shanks[25]
1884	346	J. Marcus Boorman[26]
1949	2,010	John von Neumann (a l'ENIAC)
1961	100,265	Daniel Shanks i John Wrench[27]
1978	116,000	Steve Wozniak amb l'Apple II[28]

Des de 2010, la proliferació dels ordinadors de taula d'alta velocitat ha permès a aficionats calcular trilions de dígits de e en quantitats de temps acceptables. El 5 de desembre de 2020, es va fer un càlcul de rècord, trobant 31 415 926 535 897 (aproximadament π × 10¹³) dígits de e.^[29]

Identitat d'Euler

Article principal: Identitat d'Euler

La següent expressió, la identitat d'Euler, que relaciona les cinc constants més importants en matemàtiques, va ser descoberta per Leonhard Euler:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,\!}$

Aquesta és un cas particular (amb x = 0 i y = π) de la fórmula d'Euler:

${\displaystyle e^{x+i\cdot y}=e^{x}\cdot (\cos y+i\cdot \sin y)}$

vàlida per a tot ${\displaystyle x,y\in {\mathbb {R} }}$ (i de fet per a tot ${\displaystyle x,y\in {\mathbb {C} }}$).

Asímptotes

El nombre e surt de manera natural en diferents problemes que involucren les asímptotes. N'és un exemple la fórmula de Stirling que es fa servir per a l'anàlisi asimptòtica de la funció factorial, on els dos nombres e i π es troben involucrats:

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$

Una conseqüència particular és:

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}$.

Implementació en informàtica

Es pot calcular una aproximació del nombre e amb n termes de la seqüència de Taylor citada. En C++ tenim un codi com el següent:

#include <iostream>
using namespace std;

double aproxima_e(int n) {
 //funció que aproxima el nombre e amb la seqüència de taylor:
 // suma 1/fact(i) des de i=0 fins n
 //no cal fer servir la funció factorial en cada denominador.
 if(n == 0) return 0;
 double facti = 1; //ini a 1: factorial(0). necessitem que sigui double per evitar errors de sobreeiximent
 double s = 1;
 for(int i = 1; i < n; ++i) {
 facti *= i; 
 s += 1/double(facti); 
 }

 return s;
}

int main() {
 cout.setf(ios::fixed);
 cout.precision(10);

 int n;
 while(cin >> n) {
 cout << "Amb " << n << " terme(s) obtenim " << aproxima_e(n) << endl;
 }
}