operació de càlcul infinitesimal From Wikipedia, the free encyclopedia
En càlcul infinitesimal, la derivada és una mesura de com canvia una funció en modificar el valor de les seves variables. Intuïtivament pot dir-se que la derivada és la rapidesa amb què varia una quantitat determinada en un punt donat. Per exemple, la derivada de la posició d'un cotxe en un moment concret, és la velocitat instantània a la qual va el cotxe en aquell moment; i, de manera recíproca, la integral de la velocitat del cotxe és la seva posició.
La derivada de la funció en un punt donat descriu la millor aproximació lineal de la funció en el punt. Per una funció real d'una variable real, la derivada en un punt és igual al pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció en aquest punt. En diverses dimensions, la derivada d'una funció en un punt és una aplicació lineal anomenada la linealització de la funció en el punt.[1]
Del procés de trobar una derivada se'n diu derivació. El teorema fonamental del càlcul estableix que la derivació és el procés invers al de la integració.
El matemàtic grec Arquimedes va ser el primer de qui es té constància que hagués trobat la tangent a una corba diferent de la circumferència; per fer-ho va emprar un mètode semblant al que es fa servir en càlcul de derivades. Per estudiar l'espiral va separar el moviment d'un punt en dos components, una velocitat constant en el sentit radial i una velocitat perpendicular al radi provocada per una velocitat angular constant; a continuació, va sumar (o compondre vectorialment) els dos components del moviment per trobar la tangent a la corba.[2] De vegades s'ha descrit els matemàtics grecs com a essencialment estàtics, amb poc interès per la noció de variabilitat; però Arquimedes, en el seu estudi sobre l'espiral, sembla que va trobar la tangent a una corba a través de consideracions cinemàtiques similars a les del càlcul diferencial. A base de pensar en un punt de l'espiral r = aθ com a subjecte a un doble moviment –un moviment radial uniforme allunyant-se del centre i un moviment circular entorn del centre–, sembla que, a través del paral·lelogram de velocitats, va trobar la direcció del moviment; és a dir, va trobar la tangent a la corba a base d'obtenir la resultant dels dos components del moviment. Es creu que aquest va ser el primer cas on es va trobar la tangent a una corba diferent de la circumferència.
El 499, el matemàtic Indi Aryabhata va fer servir una noció d'infinitesimals i va ser capaç d'expressar un problema astronòmic en forma d'una equació diferencial elemental.[3] Manjula, al segle x, va elaborar aquesta equació diferencial i la deixa descrita en un comentari. Ja al segle xii, aquesta equació va portar Bhaskara II a desenvolupar el concepte d'una derivada que representa un canvi infinitesimal, i va descriure una forma primitiva del teorema de Rolle.[3][4][5]
A finals del segle xii, el matemàtic Sharaf al-Dīn al-Tūsī va ser el primer a descobrir la derivada d'una funció polinòmica de tercer grau.[6] En el seu Tractat sobre les equacions va desenvolupar conceptes relacionats amb el càlcul diferencial, com ara la funció derivada i els màxims i mínims de corbes, i ho va fer amb la finalitat de resoldre equacions de tercer grau que no tenen solucions positives. Per exemple, amb l'objectiu de resoldre l'equació , al-Tusi va calcular el punt màxim de la corba . Va fer servir la derivada de la funció per trobar que aquest punt màxim està a , i llavors va obtenir el valor màxim de y a a base de substituir en . Va resoldre que l'equació té una solució si , i així al-Tusi va deduir que l'equació té una arrel positiva si , on és el discriminant de l'equació.[7]
Newton no va completar cap publicació definitiva que formalitzés el seu Fluxional Calculus; més aviat, moltes de les seves descobertes es transmeteren a través de correspondència mantinguda amb altres matemàtics, d'articles petits, o com detalls incorporats en altres compilacions definitives com ara Principia i Optica.
El 1664, Newton va fer la seva primera contribució important descrivint el teorema del binomi, el qual va estendre de manera que també inclogués exponents fraccionaris i negatius. L'èxit de Newton en expandir l'aplicació del teorema del binomi fou deguda al fet que va aplicar l'àlgebra de quantitats finites en una anàlisi de sèries infinites. En aquest treball va mostrar la voluntat de contemplar les sèries infinites, no només com a dispositius aproximats sinó com una forma alternativa d'expressar un terme.[8]
Moltes de les idees clau de Newton sorgiren durant els anys de la pesta de 1665-1666 quan va escriure el primer plantejament del càlcul de fluxions, descrit en l'article no publicat De analysi per aequationes numero terminorum infinitas. En aquest article, Newton va determinar l'àrea tancada per una corba a base de calcular primer el ritme instantani de canvi (la derivada) i extrapolant-ne l'àrea total. Va començar amb una raonament sobre un triangle infinitament petit, l'àrea del qual és una funció de x e y, que el va portar a deduir que l'augment infinitesimal de l'abscissa crea una nova fórmula on x = x + o; és important observar que o és la lletra, no el dígit 0. A continuació va recalcular l'àrea amb l'ajut del teorema del binomi, i simplificà totes les quantitats que contenen la lletra o, obtenint una nova expressió algebraica per l'àrea. És significatiu observar que Newton va "descartar" les quantitats que contenen o perquè termes multiplicats per ell no seran res respecte de la resta.
Mentre que la seva nova formulació oferia un gran potencial, Newton era conscient de les seves limitacions lògiques. Va admetre que els errors no es poden descartar en matemàtiques, no importa com siguin de petits i que el que ell havia assolit estava explicat de forma resumida més que no pas demostrat de forma acurada.
En un esforç per donar al càlcul un marc i una explicació més rigorosa, el 1671 Newton va compondre el Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum. En aquest llibret va voler especular sobre moviments instantanis i infinitesimals, i va utilitzar les matemàtiques com una eina metodològica per explicar el món físic. La base del càlcul infinitesimal revisat de Newton esdevé la continuïtat; i, com a tal, ell va redefinir els seus càlculs en termes de moviments que flueixen de forma contínua. Per Newton les magnituds variables no són agregats d'elements infinitesimals sinó que són generades pel fet indiscutible del moviment.
Newton va intentar evitar l'ús d'infinitesimals a base de conformar el càlculs basant-se en un ritme de canvi. En el Methodus Fluxionum va definir el ritme de canvi generat com una fluxió, i la quantitat generada com un fluent. Per exemple, si l'espai o el volum són fluents, llavors la velocitat o el cabal són les seves respectives fluxions. Aquest càlcul infinitesimal revisat va assolir la seva forma definitiva en el text de 1676, De Quadratura Curvarum, on Newton ve a definir el que avui en dia entenem per derivada, com el ritme de canvi últim.
Newton va fer molt èmfasi en aquesta qüestió a Principia:
| « | Amb aquest mètode s'assoleix el mateix que pel mètode dels indivisibles, així podrem emprar amb més seguretat els principis ja demostrats. Per tant, en el que segueix sempre que parli de quantitats com si estiguessin constituïdes per partícules, o sempre que prengui petites corbes com si fossin línies rectes, no vull donar a entendre mai que es tracta d'indivisibles, sinó de divisibles que s'esvaeixen, ni tampoc de sumes o de quocients de parts determinades, sinó dels límits de les sumes o dels quocients, i la força de les demostracions s'ha d'atribuir sempre als lemes precedents. Es podria objectar que no hi ha cap proporció última entre quantitats que s'esvaeixen, car abans que s'esvaeixin no són últimes i, després d'haver desaparegut, no pot haver-hi cap proporció. Tanmateix, per la mateixa raó, es podria dir que un cos que arriba a un punt on s'atura no tindria cap velocitat última, car la seva velocitat no seria última abans d'arribar al punt final i un cop allí no en tindria cap de velocitat. La resposta és fàcil: per velocitat última s'entén la que té el cos, ni abans ni després d'arribar al punt final i aturar-se, sinó la que té al arribar-hi. De la mateixa manera s'ha d'entendre el quocient últim de les quantitats que s'esvaeixen, el quocient de les quantitats ni abans ni després de desaparèixer, sinó el quocient amb què desapareixen[9] |
» |
| — Isaac Newton | ||
Mentre Newton va començar el desenvolupament del seu càlcul de fluxions el 1665-1666, les seves troballes no circularen a bastament fins més tard. En els anys intermedis Leibniz també va crear el seu càlcul infinitesimal. Per tal d'entendre el raonament de Leibniz en càlcul infinitesimal s'han de tenir presents els seus antecedents. En particular dos d'ells:
Leibniz, igual que Newton, va veure la tangent com un quocient, però el va declarar simplement com el quocient entre ordenades i abscisses. Va continuar a base d'argumentar que la integral és, de fet, la suma de les ordenades per intervals infinitesimals de l'abscissa, és a dir, la suma d'un nombre infinit de rectangles. A partir d'aquestes definicions la relació d'inverses mútues va esdevenir clara i Leibniz es va adonar ràpidament del potencial de crear un nou sistema matemàtic complet. Allà on Newton havia evitat de fer servir infinitesimals, Leibniz en va fer la pedra angular de la seva notació i del càlcul infinitesimal.
En els manuscrits del 25 d'octubre a l'11 de novembre de 1675, Leibniz va enregistrar els seus descobriments i va experimentar amb diferents formes de notació. Era plenament conscient dels termes notacionals emprats i els seus plans inicials de crear un simbolisme lògic precís van esdevenir evidents. Leibniz va denotar les diferències infinitesimals entre abscisses i ordenades com dx i dy respectivament, i la suma d'una quantitat infinita d'àrees rectangulars infinitesimalment primes com (∫), que esdevé el símbol emprat actualment per la integral . El 1684, Leibniz va publicar a l'Acta Eruditorum el que es considera el primer tractat sobre càlcul diferencial: Un nou mètode per màxims, mínims i tangents que també serveix per valors fraccionaris i irracionals i que, per tant, constitueix un tipus de càlcul sense precedents.[11]
La derivació és un mètode per calcular el ritme al que varia una quantitat, y, (per exemple la posició d'un cotxe en una carretera recta) respecte al canvi d'una altra quantitat x (per exemple el temps), quan la quantitat y en relació a la quantitat x és una variable dependent. D'aquest tipus de canvi se'n diu la derivada de y respecte de x. Parlant amb més precisió, la dependència de y respecte de x significa que y és una funció de x (en l'exemple que la posició del cotxe és una funció del temps). Si x i y són nombres reals, i si la gràfica de y es dibuixa respecte de x, la derivada mesura el pendent d'aquesta gràfica en cada punt. Aquesta relació sovint s'indica amb la fórmula y = f(x), on f indica funció.
El cas més senzill es dona quan y és una funció lineal de x (per exemple quan el cotxe recorre distàncies directament proporcionals al temps transcorregut); això vol dir que la gràfica de y respecte de x és una línia recta (en l'exemple a doble temps doble recorregut, a triple temps triple recorregut... i tots els punts de la gràfica queden damunt d'una recta). En aquest cas, y = f(x) = m x + c (l'equació d'una recta en coordenades cartesianes), on m i c, són nombres reals (en l'exemple del cotxe m és la velocitat, que en aquest cas senzill és constant, i c és la posició on es troba el cotxe quan x val zero, és a dir, la posició inicial). El pendent m ve donat per:
El símbol Δ (la lletra grega delta en majúscula) és l'abreviació de "canvi de" o "increment de". Aquesta fórmula és certa perquè, si s'agafa un punt (x0, y0) a partir del qual es calcula la variació o increment resulta que els increments de y i de x són:
Per tant:
Tanmateix, com que y és sempre funció de x, és a dir:
Substituint aquestes expressions de y i de y0 al quocient anterior resulta:
I operant queda:
D'aquí en resulta que Δy = m Δx.
Això dona un valor exacte i constant per al pendent d'una línia recta i a més aquest valor és independent del punt x0 que s'ha triat per fer el càlcul (cal fixar-se en què el valor x0 desapareix de l'equació al simplificar-la). En canvi, si la funció f no és lineal, és a dir, si la seva gràfica no és una línia recta, llavors el canvi de y dividit pel canvi de x varia en variar el punt x0, triat per fer el càlcul. La derivació és un mètode per trobar un valor exacte per aquest ritme de canvi a qualsevol valor donat de x0.
La idea, tal com s'il·lustra a les figures 1, 2 i 3, és la de calcular el ritme de canvi com el valor límit del quocient de diferències Δy / Δx a mesura que Δx esdevé infinitament petit.
En la notació de Leibniz, aquest canvi infinitesimal de x s'escriu dx, i la derivada de y respecte de x s'escriu
Un tipus de formulació que suggereix el quocient entre dues quantitats infinitesimals.[12]
L'enfocament més comú[13] que serveix per transformar aquesta idea intuïtiva en una definició més precisa utilitza límits, però hi ha altres mètodes com ara l'anàlisi no estàndard que fa servir directament nombres infinitesimals.[14]
Sia y=f(x) una funció de x; la derivada de y respecte de x al punt a és, geomètricament parlant, el pendent de la recta tangent a la gràfica de f al punt a. El pendent de la tangent és molt proper al pendent de la recta que passa per (a, f(a)) i un punt molt proper en la gràfica, per exemple (a + h, f(a + h)). D'aquesta recta se'n diu recta secant. Un valor de h proper a zero donarà una bona aproximació al pendent de la recta tangent, i valors més petits (en valor absolut) de h donaran, en general, millors aproximacions. El pendent de la recta secant és la diferència entre els valors de y en aquests dos punts, dividit per la diferència entre els valors de x. És a dir,
Aquesta expressió és el quocient de diferències de Newton. La derivada és el valor del quocient de diferències a mesura que la secant es fa més i més propera a la tangent. Formalment, la derivada de la funció f a a és el límit (si existeix):
que és el límit del quocient de diferències quan h tendeix a zero, si aquest límit existeix. Si el límit existeix, llavors f és derivable al punt a. Aquí f′ (a) és una de les múltiples notacions de la derivada (vegeu més avall, Notació de les derivades).
De forma equivalent, la derivada satisfà la propietat que
que té la interpretació intuïtiva (vegeu Figura 1) que la recta tangent a f pel punt a dona la millor aproximació lineal
a f a prop de a (és a dir, per valors de h petits).
Aquesta interpretació és la que després dona el camí més fàcil per generalitzar el concepte de derivada a funcions en espais de dimensió més gran que 1 (vegeu més avall, El Jacobià i el diferencial).
Per fer més evident que la definició de derivada ens condueix al fet que, el valor de és efectivament el valor del pendent de la recta tangent podem raonar-ho de la següent manera, primer calculem el següent límit:
Aquest límit, en general serà diferent de 0, si no és que . En altres paraules, si f és derivable en el punt a, la seva derivada és l'únic valor que anul·la el límit anterior (i si no és derivable no existeix cap valor de K que anul·li el límit, ja que de fer-ho aquest valor de K compliria la definició de derivada). Per tant, podem afirmar que l'expressió és un infinitèsim d'ordre superior a 1 quan . Mentre que qualsevol expressió de la forma amb serà un infinitèsim d'ordre 1 quan . La funció és una recta que passa pel punt i té pendent . Acabem de veure que la diferencia entre aquesta funció i la funció és un infinitèsim d'ordre igual a 1, excepte quan el pendent de la recta és igual a que es converteix en un infinitèsim d'ordre superior a 1 (quan ). Això vol dir que, de totes les rectes de la forma la recta que millor s'adapta a la funció (és a dir, la recta tangent) és la de pendent . En el cas que no existeixi la derivada de f en el punt a, per totes les rectes que passen pel punt la diferencia entre i és un infinitèsim d'ordre 1. Per tant, no existeix cap recta que s'adapti a la funció millor que les altres, és a dir, no existeix la recta tangent. Per tant, podem afirmar que
El conjunt dels nombres hiperreals es pot construir i definir de diverses maneres, la més curta (tot i que potser no la més clara) és definir-los com: una extensió pròpia dels nombres reals.
Intuïtivament és fàcil interpretar els nombre hiperreals finits si es considera el següent resultat: qualsevol nombre hiperreal finit x* es pot escriure com la suma de dos components: un nombre real x, i un nombre infinitesimal ε, x* = x + ε
Un nombre hiperreal ε és un infinitesimal si és més gran que zero i més petit que qualsevol nombre real. Els nombres infinitesimals s'acostumen a notar amb les lletres gregues ε i δ.
En el conjunt dels nombres hiperreals, a més dels nombres reals, els infinitesimals i els nombres formats per la suma d'un nombre real i un infinitesimal, també hi ha els nombres infinits. Un nombre hiperreal K és infinit si el seu invers 1/K és un infinitesimal. Els nombres infinits s'acostumen a notar amb la lletra K majúscula.
Es diu que dos nombres hiperreals pertanyen a la mateixa mònada si la seva diferència és un nombre infinitesimal
Es diu que dos nombres hiperreals pertanyen al mateix univers si la seva diferència és finita.
Es defineix una funció que a cada nombre hiperreal finit li assigna un nombre real anomenat la seva part estàndard (és una funció anàloga a la funció part entera que a cada nombre real li assigna un nombre enter). Aquesta funció es defineix de la següent manera, si x* = x + ε és un nombre hiperreal finit, llavors st(x*)=x
Qualsevol funció real definida per una fórmula es pot estendre de manera natural per tal d'obtenir una funció, el recorregut i la imatge de la qual siguin en el conjunt dels nombres hiperreals a base d'aplicar la fórmula als nombre hiperreals. Per exemple l'extensió hiperreal de la funció f(x)=x² és f*(x) de forma que f' *(x + ε)=(x + ε)²
A partir d'aquesta base, definir la derivada és molt senzill.
La derivada d'una funció en un punt és la part estàndard del quocient entre l'increment de la funció (de fet l'extensió de la funció) i l'increment de la variable independent quant l'increment de la variable independent és infinitesimal.
Per exemple
És a dir, la derivada de la funció en un punt es calcula ficant-se a dins de la mònada del punt, agafant un increment infinitesimal qualsevol de la variable independent, calculant l'increment que es produeix en la variable dependent i dividint-los, llavors se surt de la mònada negligint els infinitesimals.
Perquè la derivada existeixi cal que el quocient sigui un nombre hiperreal finit (sinó no està definida la part estàndard), per tant per calcular la derivada s'ha d'operar per veure si l'expressió del quocient es pot arribar a expressar en forma de la suma d'un nombre real més un infinitesimal. En el cas de l'exemple:
Com que en aquest cas el resultat és un nombre hiperreal finit la derivada existeix i d'acord amb la definició de la funció part estàndard val:
Perquè
Es pot demostrar que la derivada està ben definida en el sentit que el resultat és sempre el mateix independentment del increment infinitesimal que s'hagi triat.
Aquest enfocament es pot veure com una manera simplificada de parlar dels límits (una forma de construir els nombres hiperreals és identificar les successions que tendeixen a zero amb els infinitesimals) o com un sistema de nombres perfectament legítims per a treballar. Des del punt de vista pràctic i pedagògic té l'avantatge que simplifica les expressions, (sobretot al treballar en temes més complexos del calcul infinitesimal com les equacions diferencials, les integrals o el plantejament de problemes físics) i l'avantatge que és el mètode rigorós que s'assembla més al pensament que inicialment va dur tant a Newton com a Euler a desenvolupar el càlcul infnitesimal (tot i que Newton va fer l'esforç de trobar la manera d'eliminar els infinitesimals abans de presentar-lo en públic).
Sia f una funció que té derivada a cada punt a del seu domini. Com que a cada punt a té una derivada, hi ha una funció que a cada punt a li fa correspondre la derivada de f al punt a. Aquesta funció s'escriu f′(x) i es diu la funció derivada o la derivada de f. La derivada de f recull totes les derivades de f a tots els punts del domini de f.
De vegades f té derivada a molts, però no a tots, el punts del seu domini. La funció que a cada punt a per al que f′(a) està definida li fa correspondre f′(a) i que no està definida en la resta de punts, també es diu la derivada de f. Aquesta funció encara és una funció, però el seu domini és estrictament més petit que el domini de f. Ara, la funció derivada f pot ser, o no, derivable en el punt a. Si ho és denotem la derivada de la funció f'(x) en el punt a com f''(a) i s'anomena derivada segona de f en el punt a. De nou si f'(x) té derivada a tots els punts del domini (o en algun conjunt ) podem parlar de la funció derivada segona, f''(x). De forma similar podem parlar de derivada tercera, quarta, etc. Una condició necessària (però no suficient) per l'existència de la derivada enèsima de f en un punt () és l'existència de la funció derivada en algun entorn del punta a.
Fent servir aquesta idea, la derivació esdevé una funció de funcions: La derivada és un operador el domini del qual és el conjunt de totes les funcions que tenen derivades a tots els punts del seu domini i el recorregut de l'operador és un conjunt de funcions. Si s'indica aquest operador per D, llavors D(f) és la funció f′(x). Com que D(f) és una funció, es pot avaluar al punt a. Per la definició de la funció derivada, D(f)(a) = f′(a).
A tall de comparació, es considera la funció f(x) =2x; f que és una funció real sobre els nombres reals, això vol dir que agafa nombres com a arguments i que dona nombres com a resultats:
L'operador D, en canvi, no està definit sobre nombres individuals. Només està definit sobre funcions:
Com que el resultat de D és una funció, el resultat de D es pot avaluar en un punt. Per exemple, quan D s'aplica a la funció d'elevar al quadrat,
Dona la funció duplicar, que anomenem f'(x). Llavors aquesta funció resultat es pot avaluar per obtenir f(1) = 2, f(2) = 4, i així.
Trobar la derivada de la funció f(x) = x² al punt x = 3 i trobar la funció derivada d'aquesta funció.
Si se substitueix h per zero, en el quocient de diferències apareix una divisió entre zero i, per tant, el pendent de la recta tangent no es pot trobar directament amb aquesta fórmula. En comptes d'això, es defineix Q(h), el quocient de la diferència, com una funció de h:
Q(h) és el pendent de la secant que passa per (a, f(a)) i (a + h, f(a + h)). Si f és una funció contínua, que vol dir que la seva gràfica és una corba no trencada sense salts, llavors Q és una funció contínua fora del punt h = 0. Si el existeix, vol dir que hi ha una manera de triar un valor per Q(0) que fa que la gràfica de Q sigui una funció contínua; en aquest cas la funció f és derivable al punt a, i la seva derivada a a és igual a Q(0).
A la pràctica, l'existència de l'extensió contínua del quocient de diferències Q(h) a h = 0 es mostra a base de modificar el numerador de forma que es pugui cancel·lar la h del denominador. En el cas de funcions complicades, aquest procés pot ser llarg i tediós i, normalment, es fan servir moltes dreceres per poder simplificar-lo.
La funció f(x) = x² és derivable al punt x = 3, i el valor de la seva derivada en aquest punt és 6. Això es demostra a base d'escriure el quocient de les diferències tal com segueix:
Llavors es calcula el valor de la funció simplificada en el límit:
L'expressió anterior mostra que el quocient de les diferències és igual a 6 + h quan h és diferent de zero, i és indefinit quan h és zero.[17] Tanmateix, hi ha una forma natural d'omplir la gràfica del quocient de les diferències en el punt zero amb un valor, en aquest cas 6. Per tant, el pendent de la gràfica de la funció x quadrat al punt (3, 9) és 6 i, per tant, la seva derivada a x = 3 és f '(3) = 6.
De forma més general, un càlcul similar mostra que la derivada de la funció en un punt qualsevol x dona:
Per tant la funció derivada f'(x) de la funció f(x) = x² és
Naturalment, a partir d'aquí es pot trobar també el valor de la derivada en el punt 3 avaluant la funció derivada en el punt 3:
Sia f una funció derivable, i sia f′(x) la seva funció derivada. La derivada de f′(x) (si en té una) s'escriu f′′(x) i es diu la derivada segona de f. De manera similar, la derivada de la segona derivada, si existeix, s'escriu f′′′(x) i es diu la derivada tercera de f. D'aquestes derivades repetides se'n diu derivades d'ordre superior.
Una funció f no té perquè tenir derivada, per exemple, si no és contínua. De la mateixa manera, fins i tot quan f té derivada, pot ser que no tingui la derivada segona. Per exemple, sia
Un càlcul similar al de l'exemple mostra que f és una funció derivable que té com a funció derivada
f′(x) és el doble de la funció valor absolut, i aquesta no té derivada al punt zero perquè en aquest punt a la seva gràfica coincideixen dues rectes amb pendents diferents. Exemples similars mostren que hi ha funcions que tenen k derivades per qualsevol nombre k no negatiu però no tenen derivada d'ordre (k + 1). D'una funció que té k derivades successives es diu que és k vegades derivable. Si, a més a més, la derivada d'ordre k és contínua, llavors es diu que la funció és de classe Ck. Finalment, d'una funció que té infinites derivades se'n diu una funció infinitament derivable.
En la recta real, totes les funcions polinòmiques són infinitament derivables. Aplicant les regles de derivació, si un polinomi de grau n es deriva n cops, esdevé una funció constant, i totes les seves subseqüents derivades són idènticament zero. Per tant, els polinomis són funcions infinitament derivables.
Les derivades d'una funció f en un punt x subministren aproximacions polinòmiques a la funció en la proximitat del punt x. Per exemple, si f és derivable dos cops, llavors
En el sentit que
Si f és infinitament derivable, llavors aquest és el començament de la sèrie de Taylor de f.
Degut a la definició de derivada, , si la funció f és derivable en el punt a, aleshores .[18] I, en conseqüència
Per tant, si y = f(x) és derivable al punt a, llavors f també ha de ser contínua al punt a. Per exemple, en un punt qualsevol a sia f la funció graó que dona un valor, per exemple 1, per tot x més petit que a, i dona un valor diferent, per exemple 10, per tot x més gran o igual que a. La funció f no pot tenir derivada a a. Si h és negativa, llavors a + h és a la part baixa del graó, per tant la recta secant entre a i a + h serà molt pendent, i a mesura que h tendeix a zero, el pendent tendeix a infinit. Si h és positiva, llavors a + h és a la part alta del graó, per tant la secant entre a i a + h serà horitzontal i tindrà pendent zero. En conseqüència la recta secant no s'aproxima a un únic pendent, per tant el límit del quocient de les diferències no existeix.[19]
En canvi, fins i tot si una funció és contínua en un punt, pot ser que no sigui derivable en aquest punt. Per exemple, la funció valor absolut y = |x| és contínua a x = 0, però no hi és derivable. Si h és positiva, llavors el pendent de la secant des de 0 a h és 1, mentre que si h és negativa, llavors el pendent de la secant des de 0 a h és -1. Això es pot veure gràficament com un "plec" a la gràfica a x = 0. Fins i tot una funció amb una gràfica suau no és derivable en un punt quant la tangent en aquest punt és vertical: Per exemple, la funció y = 3√x no és derivable a x = 0.
La majoria de les funcions que apareixen a la pràctica tenen derivada a tots els punts o gairebé a tots els punts. En canvi, un resultat de Stefan Banach estableix que el conjunt de les funcions que tenen derivada en algun punt és un conjunt magre en l'espai de totes les funcions contínues (és a dir, no hi ha cap entorn en el conjunt de les funcions contínues on el subconjunt de les funcions derivables en algun punt sigui dens).[20] De manera informal, això significa que les funcions derivables són molt rares entre les funcions contínues. El primer exemple conegut d'una funció que és contínua a tot arreu però que no és derivable enlloc, és la funció de Weierstrass.
Recordem que la derivada d'una funció en un punt és precisament el pendent de la recta tangent a la funció en aquest punt, és a dir, que la recta tangent és una recta que s'escriu com . Si canviem el punt d'origen de la gràfica i el posem al punt , convertint la gràfica d'eixos en una gràfica d'eixos , aleshores la recta es reescriu com
Aquesta funció s'anomena diferencial de la funció f en el punta a i, quan existeix, es diu que la funció f és diferenciable. Com que diferenciabilitat existència de la recta tangent derivabilitat podem parlar de funcions diferenciables i derivables com a sinònims.
La notació de les derivades introduïda per Gottfried Leibniz és una de les primeres. Encara es fa servir habitualment quan l'equació y=f(x) és vista com una relació funcional entre variables dependents i independents.
Llavors la derivada primera es denota per
Les derivades d'ordre superior s'expressen fent servir la notació
per la derivada enèsima de y = f(x) (respecte de x).
Amb la notació de Leibniz, es pot escriure la derivada de y al punt x = a de dues formes diferents:
La notació de Leibniz permet especificar la variable respecte a la qual s'està derivant en el denominador. Això és especialment rellevant en les derivades parcials. Això també fa més fàcil de recordar la regla de la cadena:[21]
Una de les notacions modernes més habituals per la derivada és deguda a Joseph Louis Lagrange i fa servir el símbol prima, de forma que la derivada d'una funció f(x) es denota com f′(x) o simplement f′. De forma similar les derivades segona i tercera es denoten
Més enllà d'aquest punt, alguns autors fan servir nombres romans com ara
per la derivada quarta, mentre que d'altres posen el nombre de la derivada entre parèntesis:
Aquesta última notació es generalitza per donar la notació f (n) per la derivada nèsima de f — aquesta notació és més útil quan es vol parlar de les derivades com una funció en si mateixes, atès que en aquest cas la notació de Leibniz pot resultar incòmoda.
La notació de Newton per la derivada, consisteix en col·locar un punt damunt del nom de la funció per indicar una derivada. Si y = f(t), llavors
Indiquen, respectivament, la primera i segona derivades de y respecte de t. Aquesta notació es fa servir per derivades temporals, això vol dir que la variable independent de la funció representa el temps. És molt habitual en física i en disciplines matemàtiques connectades amb la física com ara en equacions diferencials. Encara que la notació esdevé immanejable per derivades d'ordre superior, a la pràctica normalment només calen derivades de segon o tercer ordre.
La notació d'Euler fa servir l'operador diferencial D, que en aplicar-lo a una funció f dona la derivada primera Df. La derivada segona es denota D²f, i la derivada nèsima es denota Dnf.
Si y = f(x) és una variable dependent, llavors sovint s'afegeix el subíndex x a la D per aclarir que la variable dependent és x. La notació d'Euler llavors s'escriu
Tot i que aquest subíndex sovint s'omet quant la variable x queda sobreentesa, per exemple quant és l'única variable present a l'expressió.
La notació d'Euler és útil per establir i resoldre equacions diferencials lineals.
La regla de L'Hôpital diu que si existeix el límit del quocient entre les derivades de dues funcions es compleix que:
Es un teorema utilitzat principalment per determinar límits que d'altra manera foren complicats de calcular. Es pot aplicar si es tracta de cercar un límit d'un quocient entre dues funcions contínues, f(x)/g(x), el numerador i denominador del qual tendeixen a zero o bé el denominador, a l'infinit. Per calcular el límit es deriva independentment el numerador i el denominador i es determina el límit del quocient entre aquestes derivades.
El teorema de Fermat estableix que la derivada d'una funció en els seus extrems locals, (màxims i mínims locals), si existeix, val zero.
És a dir:
Sia
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(a+h)-[f(a)+Kh] \over h}=\lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a)-f'(a)h+f'(a)h-Kh \over h}=\lim _{h\to 0}{f(a+h)-[f(a)+f'(a)h] \over h}+f'(a)-K=f'(a)-K}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f831412fe470ecfb0a1369c03da6e4ea29b2b09c)
![{\displaystyle f(a+h)-[f(a)+f'(a)h]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceebec32ffa78406e8d64cfd0e1ebd2c368a029e)
![{\displaystyle f(a+h)-[f(a)+Kh]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c23f45005132b20c6e389f4b53e35a69e30d3022)
![{\displaystyle f(x)-f(a)=O[(x-a)]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268b9f39ce00c6105300dfe0dabe993257fa2c60)
