Equidistant

Es diu que un punt és equidistant d'un conjunt de figures geomètriques si les distàncies entre aquest punt i cada figura del conjunt són iguals. ^[1]

Construcció de la mediatriu d'un segment de recta. El punt en què la línia vermella creua el segment negre és equidistant dels dos extrems.

El polígon P està inscrit a la circumferència C. El centre O és equidistant de cada punt de la circumferència i, per tant, de cada vèrtex del polígon.

Generalització

En la geometria euclidiana hi ha els següents casos:

• En una recta es coneix com a punt mig aquell punt que es troba a la mateixa distància de dos punts donats o dels extrems d'un segment donat.

• En geometria afí, donats els punts ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$, el punt mig és el punt que es troba a mig camí entre ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$, és a dir, ${\displaystyle P_{m}=A+{\frac {\vec {AB}}{2}}=A+{\frac {B}{2}}-{\frac {A}{2}}={\frac {A}{2}}+{\frac {B}{2}}.}$

En el plànol

1. Els punts de la mediatriu d'un segment són equidistants dels extrems del segment.
2. Els punts de la circumferència són equidistants del centre de la circumferència.
3. Els punts de la bisectriu d'un angle són equidistants respecte dels costats d'aquest.
4. Els punts que equidisten de dues rectes paral·leles formen una tercera paral·lela que és a l'interior de les dues.
5. Els punts d'una paràbola equidisten del focus i de la directriu.
6. A l'espai, el lloc geomètric dels punts equidistants de dos punts donats és un pla.
7. En un espai de dimensió ${\displaystyle n}$ el lloc geomètric dels punts equidistants de dos punts és un hiperplà de dimensió ${\displaystyle (n-1).}$

Casos

Circumferències (conjunt de punts equidistants d'un donat) a la geometria del taxista discreta i contínua.

Geometria euclidiana

En un triangle el centre de la circumferència circumscrita és un punt equidistant de cadascun dels tres vèrtexs. Tot triangle no degenerat té aquest punt. De la mateixa manera, el centre d'un triangle o de qualsevol altre polígon tangencial és equidistant dels punts de tangència dels costats del triangle o del polígon amb la circumferència inscrita. Cada punt de la mediatriu d'un triangle o d'un altre polígon és equidistant dels dos vèrtexs als extrems d'aquest costat. Cada punt de la bisectriu d'un angle és equidistant dels dos costats que defineixen aquest angle.

El centre d'un rectangle és equidistant dels quatre vèrtexs, i és equidistant de qualssevol dos costats oposats. Un punt de l'eix de simetria d'un deltoide és equidistant entre dos dels seus costats.

El centre d'una circumferència és equidistant de cada punt del seu perímetre. De la mateixa manera, el centre d'una esfera és equidistant de tots els punts de la seva superfície.

Una paràbola és el conjunt de punts en un pla que equidisten d'un punt fix (el focus) i d'una línia fixa (la directriu).

En l'anàlisi de formes, el càlcul de l'esquelet o eix mitjà d'una figura és una versió lineal d'aquesta forma que és equidistant del seu contorn.

En la geometria euclidiana, les línies paral·leles (aquelles que mai no es creuen) són equidistants en el sentit que la distància de qualsevol punt d'una línia fins al punt més proper de l'altra és la mateixa per a tots els punts.

Geometria hiperbòlica

En la geometria hiperbòlica el conjunt de punts que són equidistants des de i cap a un costat d'una recta donada formen una circumferència hiperbòlica (tenen la disposició d'una corba, no d'una recta, com a l'espai euclidià). ^[2]

Altres mètriques

El concepte de distància depèn de la mètrica amb què s'hagi definit la relació entre els elements que formen part d'un espai topològic. A més de la mètrica habitual dels espais euclidians, el·lipsoïdals o hiperbòlics, hi ha altres mètriques (com la definida per la geometria del taxista) ^[3] en què a l'hora d'aplicar el concepte d'equidistància, s'obtenen resultats molt diferents dels intuïtivament esperables des de la intuïció euclidiana de la geometria.