Escalar de Ricci

L'escalar de Ricci o escalar de curvatura en geometria de Riemann, és la forma més simple per descriure la curvatura d'una varietat de Riemann. Aquest escalar assigna a cada punt de la varietat un únic nombre real que caracteritza la curvatura intrínseca de la varietat en aquest punt.

Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat.

En dues dimensions la curvatura escalar caracteritza completament la curvatura d'una varietat riemaniana. Tot i així, en dimensions iguals o superiors a 3, cal més informació (vegeu «curvatura de les varietats riemanianes» per a una discussió més extensa).

La curvatura escalar s'acostuma a denotar per S (altres notacions són Sc, R). Es defineix com la traça del tensor de curvatura de Ricci respecte a la mètrica:

${\displaystyle S={\mbox{tr}}_{g}\,Ric}$

La traça depèn de la mètrica, ja que el tensor de Ricci és un tensor (0,2); primer s'ha de contreure amb la mètrica per obtenir un tensor (1,1) de cara a obtenir la traça. En termes de coordenades locals podem escriure:^[1]

${\displaystyle S=g^{ij}R_{ij}}$

on

${\displaystyle Ric=R_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}}$