Espai T1

En topologia, un espai T₁ o de Fréchet es un cas particular d'espai topològic.

Definició

Un espai topològic ${\displaystyle E}$ és ${\displaystyle T_{1}}$ si per a cada parella d'elements diferents ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ d'${\displaystyle E}$ existeix un obert que conté ${\displaystyle x}$ i no ${\displaystyle y}$ i un obert que conté ${\displaystyle y}$ i no ${\displaystyle x}$. Noti's que no es necessari que aquests dos oberts siguin disjunts, cas en què estaríem parlant d'espais de Hausdorff o ${\displaystyle T_{2}}$).

Propietats

Sigui ${\displaystyle E}$ un espai topològic. Són equivalents:

• ${\displaystyle E}$ és un espai ${\displaystyle T_{1}}$.
• ${\displaystyle E}$ és un espai ${\displaystyle T_{0}}$ i un espai ${\displaystyle R_{0}}$.
• Per a cada ${\displaystyle x}$ d'${\displaystyle E}$, ${\displaystyle \{x\}}$ és tancat.
• Tot conjunt d'un únic punt és la intersecció dels seus entorns.
• Tot subconjunt d'${\displaystyle E}$ és la intersecció dels seus entorns.
• Tot subconjunt finit d'${\displaystyle E}$ és tancat.
• Tot subconjunt cofinit d'${\displaystyle E}$ és obert.
• L'ultrafiltre principal d'${\displaystyle x}$ convergeix només a ${\displaystyle x}$.
• Per a cada punt ${\displaystyle x}$ d'${\displaystyle E}$ i tot subcojunt ${\displaystyle S}$ d'${\displaystyle E}$, ${\displaystyle x}$ és un punt adherent de ${\displaystyle S}$ si i només si és un punt d'acumulació de ${\displaystyle S}$.

A més a més, la propietat de separació T₁ és hereditària, la qual cosa significa que els subespais d'un espai T₁ també són T₁.^[1]

Nota i casos

• Sigui ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\tau )}$, on ${\displaystyle \tau =\{A\subset \mathbb {N} ;x\in A}$ i ${\displaystyle \mathbb {N} -A}$ és finit${\displaystyle \}}$. Aleshores T es una estructura topològica sobre ℕ, anomenada estructura topològica cofinita que és T₁ però no T₂.^[2]

• Qualsevol espai T₁ finit és un espai topològic discret.^[3]

• Sigui ${\displaystyle X=\{a,b,c\}}$ i la topologia que consisteix dels subconjunts de X següents: ${\displaystyle \emptyset }$, ${\displaystyle \{b\}}$, ${\displaystyle \{a,b\}}$, ${\displaystyle \{b,c\}}$, ${\displaystyle X}$ no és T₁, ja que ${\displaystyle \{b\}}$ no és tancat.^[4]

Teorema

Un espai topològic és T₁ si i només si cada punt és un conjunt tancat.^[3][5]

Exemples

• La topologia cofinita sobre un conjunt infinit és T₁, però no és T₂.^[6]
• L'espai topològic de Sierpinski és T₀, però no és T₁.^[7]