Matriu acompanyant

En àlgebra lineal, la matriu acompanyant de Frobenius del polinomi mònic

${\displaystyle p(t)=c_{0}+c_{1}t+\cdots +c_{n-1}t^{n-1}+t^{n}~,}$

és la matriu quadrada definida per

${\displaystyle C(p)={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}.}$

Amb aquesta convenció, i escrivint la base com ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$, tenim ${\displaystyle Cv_{i}=C^{i}v_{1}=v_{i+1}}$ (per ${\displaystyle i<n}$), i ${\displaystyle v_{1}}$ genera V com a ${\displaystyle K[C]}$-mòdul: C vectors base de cicles.

Alguns autors usen la transposada d'aquesta matriu, que és més convenient per algunes utilitats, com ara les recurrències.

Caracterització

Tant el polinomi característic com el polinomi minimal de C(p) són iguals a p;^[1] en aquest sentit, la matriu C(p) és l'"acompanyant" del polinomi p.

Si A és una matriu n×n a entrades en algun cos K, llavors les següents afirmacions són equivalents:

• A és semblant a la matriu acompanyant sobre K del seu polinomi característic.
• El polinomi característic de A coincideix amb el polinomi minimal de A; equivalentment, el polinomi minimal té grau n.
• Existeix un vector cíclic v a ${\displaystyle V=K^{n}}$ per A, la qual cosa vol dir que {v, Av, A²v, ..., Aⁿ⁻¹v} és una base de V. Equivalentment, és tal que V és cíclic com a ${\displaystyle K[A]}$-mòdul (i ${\displaystyle V=K[A]/(p(A))}$); hom diu que A és regular.

No tota matriu quadrada és semblant a una matriu acompanyant. Però tota matriu és similar a una matriu construïda amb blocs de matrius acompanyants. És mes, aquestes matrius acompanyants es poden escollir de tal manera que els seus polinomis es divideixin l'un a l'altre; llavors es diu que estan unívocament determinades per A. Aquesta és la forma normal de Frobenius de A.

Diagonalitzabilitat

Si p(t) té arrels diferents λ₁, ..., λ_n (els valors propis de C(p)), llavors C(p) és diagonalitzable de la següent manera:

${\displaystyle VC(p)V^{-1}=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$

on V és la matriu de Vandermonde corresponents als valors propis λ_i.

En aquest cas,^[2] les traces de les potències m-simes de C equivalen a les sumes de les mateixes potències m-simes de totes les arrels de p(t),

${\displaystyle \operatorname {tr} C^{m}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{m}~.}$

En general, la matriu acompanyant pot no ser diagonalitzable.

Recurrències lineals

Donada una recurrència lineal amb polinomi característic

${\displaystyle p(t)=c_{0}+c_{1}t+\cdots +c_{n-1}t^{n-1}+t^{n}\,}$

la matriu acompanyant (transposada)

${\displaystyle C^{T}(p)={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\cdots &-c_{n-1}\end{bmatrix}}}$

genera la recurrència, en el sentit que

${\displaystyle C^{T}{\begin{bmatrix}a_{k}\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n}\end{bmatrix}}.}$

Incrementa la seqüència en 1 posició.

Per c₀ = −1, i tots els altres c_i=0, per exemple, p(t)=tⁿ−1, aquesta matriu es redueix a la matriu de decalatge cíclica de Sylvester, o matriu circulant.

El vector (1,t,t², ..., t^n-1) és un vector propi d'aquesta matriu pel valor propi t, on t és una arrel del polinomi característic anterior.