Nombre algebraic

En matemàtiques, un nombre algebraic és un nombre real o complex que és arrel d'un polinomi no nul amb coeficients racionals (o equivalentment enters).

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0\,}$

on:

${\displaystyle n>0(a_{n}\neq 0)}$, és el grau del polinomi.

${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$, els coeficients del polinomi són nombres enters.^[1]

El conjunt dels nombres algebraics és numerable i és un subcòs del cos ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dels nombres complexos.^[2]

Classificació dels complexos

• Si un nombre real o complex no és algebraic, es diu que és transcendent.
• Si un nombre algebraic és solució d'una equació polinòmica de grau n, i no és solució d'una equació polinòmica de grau menor m < n, llavors es diu que és un nombre algebraic de grau n (n > 0).

Definició formal

Considerem ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ un nombre algebraic diferent de 0. El grau (${\displaystyle d}$) de ${\displaystyle a}$ correspon al grau més baix del polinomi amb coeficients racionals tal que ${\displaystyle f(a)=0}$. Seguint aquesta descripció, només hi ha un polinomi mònic de grau ${\displaystyle d}$ que té ${\displaystyle a}$ com a arrel. Aquest rep el nom de polinomi definitori.^[3]

Exemples

• Tot nombre racional ${\displaystyle p/q}$ és algebraic, perquè és arrel del polinomi ${\displaystyle qx-p}$.
• El nombre real ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ és algebraic perquè és arrel del polinomi ${\displaystyle x^{2}-2}$. Més generalment, si ${\displaystyle a}$ és un nombre racional, llavors ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$ és un nombre algebraic de grau ${\displaystyle n}$ amd polinomi ${\displaystyle x^{n}-a}$.
• El nombre imaginari ${\displaystyle i}$ és algebraic perquè és arrel del polinomi ${\displaystyle x^{2}+1}$.
• El nombre d'or és algebraic perquè és arrel del polinomi ${\displaystyle x^{2}-x-1}$.
• En canvi se sap que el nombre π i la constant d'Euler no són algebraics: el matemàtic alemany Ferdinand von Lindemann va demostrar que no existeix cap polinomi de coeficients racionals que els tingui per arrel.