Operador semisimple

En matemàtiques, i més concretament en l'àmbit de l'àlgebra lineal, la noció d'operador semisimple constitueix una generalització de matriu diagonalitzable. Permet distingir dos tipus de problemes a l'hora de generalitzar: per una banda, les dificultats vinculades a l'aritmètica del cos de coeficients al qual es considera l'operador (o la matriu), i per altra banda, les dificultats independents del cos escollit.

Una matriu A a coeficients dins un cos commutatiu K s'anomena semisimple sobre K si tot subespai invariant per A té un subespai complementari invariant per A.^[1]

Un resultat important sobre operadors semisimples és que un operador lineal sobre un espai vectorial de dimensió finita sobre un cos algebraicament tancat és semisimple si i només si és diagonalitzable.^[1] Això és així perquè un tal operador sempre té un vector propi; si, a més, és semisimple, llavors té un hiperplà invariant complementari, que al seu torn té un vector propi, i així per inducció és diagonalitzable. Recíprocament, és fàcil veure que els operadors diagonalitzables són semisimples, ja que els subespais invariants són suma directa d'espais propis, i qualsevol base d'aquest espai es pot estendre a una base pròpia.

Resultats generals

La semisimplicitat es pot caracteritzar amb l'ajuda del polinomi mínim de la matriu considerada: una matriu a coeficients dins K és semisimple si i només si el seu polinomi mínim no té cap factor quadrat (és a dir, no admet cap divisor que sigui el quadrat d'un altre polinomi) dins K[X].

En particular, en el cas en què totes les arrels del polinomi mínim de A pertanyin a K, l'afirmació anterior es reformula com «A és semisimple si i només si és diagonalitzable».

Si el cos de coeficients té la propietat de ser perfecte (per exemple qualsevol cos finit; o qualsevol cos de característica zero, com ara el cos dels nombres racionals o el cos dels nombres reals), és a dir, que tots els polinomis irreductibles a coeficients en aquest cos tenen només arrels simples dins una clausura algebraica del cos, aquesta caracterització es pot escriure com «una matriu és semisimple si i només si és diagonalitzable dins una clausura algebraica del cos».

Demostració

Si el polinomi mínim M de A té un factor quadrat P², llavors la matriu A no és semisimple. En efecte, el subespai Im(P(A)) és un subespai invariant i, si S designa un complementari estable d'aquest subespai, llavors ${\displaystyle {\frac {M}{P}}(A)(S)\subset S\cap Im(P(A))}$, d'una banda per ser invariant, i de l'altra perquè P divideix M/P. D'aquí obtenim que M/P és un polinomi anul·lador de A, en contradicció amb la definició de polinomi mínim. Recíprocament, si el polinomi mínim M de A no té cap factor quadrat, i denotem per S un subespai invariant per A, llavors el polinomi mínim N de A considerat com a restrucció a S és un divisor de M. Hom pot verificar que S és el nucli de N(A), i admet com a complementari invariant el nucli de M/N(A), segons el lema dels nuclis. En el cas d'un cos perfecte, el polinomi mínim no té cap factor quadrat si i només si és separable; és a dir, factoritza en factors simples dins una clausura algebraica de K.

Exemple en un cos no perfecte

Les definicions i els resultats que hem vist poden dependre del cos K de referència. A continuació veurem un exemple "patològic" que permet observar certes subtileses.

Sigui F₂ el cos de dos elements, i sigui K = F₂(Y), el cos de les fraccions algebraiques sobre F₂. Definim la matriu

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&Y\\1&0\end{pmatrix}}.}$

El polinomi característic d'aquesta matriu és χ_A(Z) = Z² - Y, que no té arrels dins K, perquè Y no és quadrat dins K, donat que la seva valoració és senar. Això ens diu que la matiru A no té cap valor propi dins K. Aleshores A és semisimple dins K.

Considerem ara l'extensió quadràtica L = K[X]/(Y - X²), el cos de descomposició de χ_A.

Sobre L, χ_A(Z) = Z² - X² = (Z - X)² ja no és irreductible, i A té com a valor propi doble X. Si A fos diagonalitzable, seria semblant a la matriu diagonal XI i, per tant, igual a aquesta matriu. Però hom pot veure que A no és una matriu diagonal. Per tant, no és diagonalitzable, i en conseqüència no és semisimple dins L.