Problema dels aniversaris

El problema dels aniversaris és un famós problema de probabilitat i estadística.^[1] Cerca una solució per a determinar la probabilitat que hi ha en grup de n persones que almenys dues coincideixin en la data de naixement, s'entén dia i mes, tenint en compte que l'any té sempre 365 dies.^[2]

Es parla de paradoxa, perquè hi ha una discrepància entre la intuïció, que ens fa pensar que és rar i que cal un gran nombre, quan el càlcul de probabilitat pot provar que a partir d'un grup de 23 persones, la probalitat és 50% i a partir d'un grup de 57 persones és 99%.^[3][2] De fet, amb 23 persones, ens és menester de considerar 23 × 22/2 = 253 parells, que ja és més de la meitat del nombre de dies en un any.

És un cas particular del càlcul de probabilitat d'una coincidència.^[4] Es sol atribuir la descripció d'aquest problema a Harold Davenport (1907-1969) devers 1927,^[5] tot i que va ser publicat per primera vegada pel matemàtic austríac Richard von Mises (1883-1953) el 1939.^[6][4]

Resolució

Calcularem la probabilitat de la coincidència per grups de 10, 20 i 50 persones. D'aquesta manera la probabilitat de cap coincidència per a grups de n persones és un quocient: el factorial de 365 (dies) dividit entre el factorial de 365 menys el nombre n de persones multiplicat per 365 elevat al nombre de persones.

• Grup de 10 persones: p (alguna coincidència) = 11,7%

• Grup de 20 persones: p (alguna coincidència) = 41,4%

• Grup de 50 persones: p (alguna coincidència) = 97,0%

Així arribem a la conclusió que per a grups en què n és igual o més gran que 50, la probabilitat d'almenys una coincidència és pràcticament 1.