Sagita (geometria)

En geometria, la fletxa o sagita d'un arc circular és la distància des del centre de l'arc al centre de la corda.^[1] Aquest concepte s'empra sovint en arquitectura per obtenir l'arc necessari per cobrir una obertura i en òptica on s'empra per trobar la profunditat d'un mirall esfèric o una lent.

Esquema d'un arc de circumferència.c: corda; f: sagita; s: arc, d: apotema

Expressions

En les següents expressions, ${\displaystyle f}$ es refereix a la fletxa, ${\displaystyle R}$ al radi de la circumferència, ${\displaystyle c}$ a la corda de l'arc i ${\displaystyle d}$ a la distància des del centre de la circumferència fins a la corda.

La fletxa es defineix com:

${\displaystyle f=R-d}$

Aplicant el Teorema de Pitàgores, la fletxa es pot calcular com:

${\displaystyle f=R-{\sqrt {R^{2}-\left({\frac {c}{2}}\right)^{2}}}}$

La fletxa també es pot calcular emprant la funció versinus. Sigui ${\displaystyle \alpha }$ l'angle que defineix l'arc,

${\displaystyle f=R\cdot \operatorname {versin} {\frac {\alpha }{2}}=R\left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)}$

O de forma alternativa:

${\displaystyle f={\frac {c}{2}}\cdot \tan {\frac {\alpha }{4}}}$

Quan la fletxa és petita en comparació del radi es pot aproximar de la següent forma:^[2]

${\displaystyle f\approx {\frac {\left(c/2\right)^{2}}{2R}}={\frac {c^{2}}{8R}}}$

Vegeu també

• Funció trigonomètrica
• Versinus