Suprem i ínfim (elements)

En matemàtiques, donat un subconjunt ${\displaystyle S}$ d'un conjunt parcialment ordenat ${\displaystyle (P,<)}$, el suprem de ${\displaystyle S}$, si existeix, és l'element mínim de ${\displaystyle P}$ que és major o igual a cada element de ${\displaystyle S}$. En altres paraules, és la mínima de les fites superiors de ${\displaystyle S}$. El suprem d'un conjunt ${\displaystyle S}$ comunament es denota ${\displaystyle \sup(S)}$. L'ínfim de ${\displaystyle S}$ si existeix, és l'element màxim de ${\displaystyle P}$ que és menor o igual que cada element de ${\displaystyle S}$. Per tant, el mínim és la major de les fites inferiors de ${\displaystyle S}$. L'ínfim es denota habitualment per ${\displaystyle \inf(S)}$.

Per a altres significats, vegeu «Tribunal Suprem».

Un conjunt A de nombres reals (representats per cercles blaus), un conjunt de cotes superiors de A (cercles vermells), i el mínim de les fites superiors, el suprem de A (diamant vermell).

Propietats

• Si el suprem o l'ínfim existeixen, llavors són únics.
• Un conjunt té màxim, si i només si conté al seu suprem. Un conjunt té mínim si i només si conté el seu ínfim.
• ${\displaystyle \sup(A\cup B)=\max\{\sup(A),\sup(B)\}}$, si és que aquests suprems existeixen.
• ${\displaystyle \inf(A\cup B)=\min\{\inf(A),\inf(B)\}}$, si ambdós ínfims existeixen.
• ${\displaystyle \sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)}$, on ${\displaystyle A+B:=\{a+b\;|\;a\in A,b\in B\}}$ denota la suma de Minkowski.
• D'igual manera, ${\displaystyle \inf(A+B)=\inf(A)+\inf(B)}$.

Exemples

• En el camp dels nombres reals, tot subconjunt no buit, fitat superiorment té suprem (el que es coneix com a axioma del suprem).
• ${\displaystyle \sup\{1,2,3\}=3\,}$.
• ${\displaystyle \inf\{1,2,3\}=1\,}$.
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} \,|\,0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} \,|\,0\leq x\leq 1\}=1\,}$.
• ${\displaystyle \sup\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \}=1\,}$.
• ${\displaystyle \inf \left\{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \right\}=0\,}$.
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {Q^{+}} |x^{2}<2\}=0\,}$.

Vegeu també

• Roger Paman
• Element major i menor
• Element maximal i minimal