Tensor antisimètric

En matemàtiques i física teòrica, un tensor és antisimètric o alterna en (o respecte a) un subconjunt d'índex si alterna el signe (+/−) quan s'intercanvien dos índexs qualssevol del subconjunt.^[1][2] El subconjunt d'índex generalment ha de ser tot covariant o tot contravariant.^[3]

Per exemple, $${\displaystyle T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }=T_{jki\dots }=-T_{kji\dots }=T_{kij\dots }=-T_{ikj\dots }}$$ es compleix quan el tensor és antisimètric respecte als seus tres primers índexs.

Si un tensor canvia de signe sota l'intercanvi de cada parell dels seus índexs, aleshores el tensor és completament (o totalment) antisimètric. Un camp tensorial covariant d'ordre completament antisimètric ${\displaystyle k}$ es pot anomenar diferencial ${\displaystyle k}$-forma, i un camp tensorial contravariant completament antisimètric es pot anomenar a ${\displaystyle k}$ -camp vectorial.

Tensors antisimètrics i simètrics

Un tensor A que és antisimètric en els índexs ${\displaystyle i}$ i ${\displaystyle j}$ té la propietat que la contracció amb un tensor B que és simètric en els índexs ${\displaystyle i}$ i ${\displaystyle j}$ és idènticament 0.

Per a un tensor general U amb components ${\displaystyle U_{ijk\dots }}$ i un parell d'índexs ${\displaystyle i}$ i ${\displaystyle j,}$ U té parts simètriques i antisimètriques definides com:

${\displaystyle U_{(ij)k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }+U_{jik\dots })}$		(part simètrica)
${\displaystyle U_{[ij]k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }-U_{jik\dots })}$		(part antisimètrica).

Es poden donar definicions similars per a altres parells d'índexs. Com suggereix el terme "part", un tensor és la suma de la seva part simètrica i la seva part antisimètrica per a un parell d'índexs donat, com en $${\displaystyle U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }.}$$

Notació

Una notació abreujada per a l'antisimetrització es denota amb un parell de claudàtors. Per exemple, en dimensions arbitràries, per a un tensor covariant M d'ordre 2,^[4]$${\displaystyle M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}(M_{ab}-M_{ba}),}$$ i per a un tensor covariant T d'ordre 3, $${\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba}).}$$En qualsevol dimensió de 2 i 3 dimensions, aquestes es poden escriure com

$${\displaystyle {\begin{aligned}M_{[ab]}&={\frac {1}{2!}}\,\delta _{ab}^{cd}M_{cd},\\[2pt]T_{[abc]}&={\frac {1}{3!}}\,\delta _{abc}^{def}T_{def}.\end{aligned}}}$$ on ${\displaystyle \delta _{ab\dots }^{cd\dots }}$ és el delta de Kronecker generalitzat, i s'utilitza la convenció de suma d'Einstein.

Més generalment, independentment del nombre de dimensions, l'antisimetrització sobre ${\displaystyle p}$ els índexs es poden expressar com $${\displaystyle T_{[a_{1}\dots a_{p}]}={\frac {1}{p!}}\delta _{a_{1}\dots a_{p}}^{b_{1}\dots b_{p}}T_{b_{1}\dots b_{p}}.}$$En general, cada tensor de rang 2 es pot descompondre en un parell simètric i un antisimètric com:

$${\displaystyle T_{ij}={\frac {1}{2}}(T_{ij}+T_{ji})+{\frac {1}{2}}(T_{ij}-T_{ji}).}$$Aquesta descomposició no és generalment certa per a tensors de rang 3 o més, que tenen simetries més complexes.

Exemples

Els tensors totalment antisimètrics inclouen:

• Trivialment, tots els escalars i vectors (tensors d'ordre 0 i 1) són totalment antisimètrics (a més de ser totalment simètrics).
• El tensor electromagnètic, ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ en electromagnetisme.
• El volum riemanniano es forma en una varietat pseudoriemanniana.

Vegeu també

• Matriu antisimètrica: forma d'una matriu. Pàgines que mostren descripcions breus dels objectius de redirecció.
• Símbol de Levi-Civita: objecte de permutació antisimètrica que actua sobre tensors.
• Càlcul de Ricci: notació d'índex tensorial per a càlculs basats en tensors.
• Tensor simètric: tensor invariant sota permutacions dels vectors sobre els quals actua.
• Sinterització