Tensor simètric

En matemàtiques, un tensor simètric és un tensor no barrejat que és invariant sota una permutació dels seus arguments vectorials:^[1]

${\displaystyle T(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r})=T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\ldots ,v_{\sigma r})}$

per a cada permutació σ dels símbols {1, 2, ..., r}. Alternativament, un tensor simètric d'ordre r representat en coordenades com una quantitat amb r índexs satisfà

${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}=T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma r}}.}$

L'espai de tensors simètrics d'ordre r en un espai vectorial de dimensió finita V és naturalment isomorf al dual de l'espai de polinomis homogenis de grau r en V. Sobre camps de característica zero, l'espai vectorial graduat de tots els tensors simètrics es pot identificar naturalment amb l'àlgebra simètrica en V. Un concepte relacionat és el del tensor antisimètric o forma alternant . Els tensors simètrics apareixen àmpliament en enginyeria, física i matemàtiques .

Definició

Sigui V un espai vectorial i

${\displaystyle T\in V^{\otimes k}}$

un tensor d'ordre k . Aleshores T és un tensor simètric si

${\displaystyle \tau _{\sigma }T=T\,}$

per a les aplicacions de trenat associades a cada permutació σ sobre els símbols {1,2,..., k } (o equivalentment per a cada transposició sobre aquests símbols).

Donada una base {ei} de V, qualsevol tensor simètric T de rang k es pot escriure com a

${\displaystyle T=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{k}=1}^{N}T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}}$

per a una llista única de coeficients ${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}$ (els components del tensor a la base) que són simètrics respecte als índexs. És a dir

${\displaystyle T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}=T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}$

per a cada permutació σ.

L'espai de tots els tensors simètrics d'ordre k definits a V sovint es denota per Sk(V) o Symk(V). És en si mateix un espai vectorial, i si V té dimensió N, ^aleshores la dimensió de Symk(V) és el coeficient binomial.

${\displaystyle \dim \operatorname {Sym} ^{k}(V)={N+k-1 \choose k}.}$

Aleshores construïm Sym( V ) com la suma directa de Sym^k(V) per a k = 0,1,2,...

${\displaystyle \operatorname {Sym} (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{k}(V).}$

Exemples

Hi ha molts exemples de tensors simètrics. Alguns inclouen el tensor mètric, ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$, el tensor d'Einstein, ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ i el tensor de Ricci, ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ .

Moltes propietats i camps dels materials utilitzats en física i enginyeria es poden representar com a camps tensorials simètrics; per exemple: tensió, deformació i conductivitat anisotròpica . A més, en la ressonància magnètica de difusió sovint s'utilitzen tensors simètrics per descriure la difusió al cervell o a altres parts del cos.

Els el·lipsoides són exemples de varietats algebraiques; i per tant, per a un rang general, els tensors simètrics, en forma de polinomis homogenis, s'utilitzen per definir varietats projectives, i sovint s'estudien com a tals.

Donada una varietat riemanniana ${\displaystyle (M,g)}$ equipat amb la seva connexió Levi-Civita ${\displaystyle \nabla }$, el tensor de curvatura covariant és un tensor simètric d'ordre 2 sobre l'espai vectorial ${\textstyle V=\Omega ^{2}(M)=\bigwedge ^{2}T^{*}M}$ de formes diferencials 2. Això correspon al fet que, veient ${\displaystyle R_{ijk\ell }\in (T^{*}M)^{\otimes 4}}$, tenim la simetria ${\displaystyle R_{ij\,k\ell }=R_{k\ell \,ij}}$ entre el primer i el segon parell d'arguments, a més de l'antisimetria dins de cada parell: ${\displaystyle R_{jik\ell }=-R_{ijk\ell }=R_{ij\ell k}}$^[2]

Part simètrica d'un tensor

Suposem ${\displaystyle V}$ és un espai vectorial sobre un camp de característica 0. Si T ∈ V^⊗k és un tensor d'ordre ${\displaystyle k}$, aleshores la part simètrica de ${\displaystyle T}$ és el tensor simètric definit per

${\displaystyle \operatorname {Sym} \,T={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}\tau _{\sigma }T,}$

la suma que s'estén sobre el grup simètric en k símbols. En termes d'una base, i emprant la convenció de suma d'Einstein, si

${\displaystyle T=T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}},}$

llavors

${\displaystyle \operatorname {Sym} \,T={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}.}$

Els components del tensor que apareixen a la dreta sovint es denoten per

${\displaystyle T_{(i_{1}i_{2}\cdots i_{k})}={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}}$

amb parèntesis () al voltant dels índexs que es simetritzen. Els claudàtors [] s'utilitzen per indicar l'antisimetrització.

Producte simètric

Si T és un tensor simple, donat com a producte tensorial pur

${\displaystyle T=v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r}}$

aleshores la part simètrica de T és el producte simètric dels factors:

${\displaystyle v_{1}\odot v_{2}\odot \cdots \odot v_{r}:={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma r}.}$

En general, podem convertir Sym( V ) en una àlgebra definint el producte commutatiu i associatiu ⊙.^[3] Donats dos tensors T₁ ∈ Sym^k₁(V) i T₂ ∈ Sym^k₂(V), fem servir l'operador de simetrització per definir:

${\displaystyle T_{1}\odot T_{2}=\operatorname {Sym} (T_{1}\otimes T_{2})\quad \left(\in \operatorname {Sym} ^{k_{1}+k_{2}}(V)\right).}$

Es pot verificar (com ho fan Kostrikin i Manin^[4]) que el producte resultant és de fet commutatiu i associatiu. En alguns casos, s'omet l'operador: T₁T₂ = T₁ ⊙ T₂ .

En alguns casos s'utilitza una notació exponencial:

${\displaystyle v^{\odot k}=\underbrace {v\odot v\odot \cdots \odot v} _{k{\text{ times}}}=\underbrace {v\otimes v\otimes \cdots \otimes v} _{k{\text{ times}}}=v^{\otimes k}.}$

On v és un vector. De nou, en alguns casos, ⊙ s'omet:

${\displaystyle v^{k}=\underbrace {v\,v\,\cdots \,v} _{k{\text{ times}}}=\underbrace {v\odot v\odot \cdots \odot v} _{k{\text{ times}}}.}$