Transformada sinus discreta

La transformada sinusoïdal discreta (DST), dins l'àmbit de la matemàtica, és una transformada relacionada amb Fourier similar a la transformada discreta de Fourier (DFT), però utilitzant una matriu purament real. És equivalent a les parts imaginàries d'una DFT d'aproximadament el doble de la longitud, que opera sobre dades reals amb una simetria estranya (ja que la transformada de Fourier d'una funció real i senar és imaginària i senar), on en algunes variants, l'entrada i/o la sortida, les dades es desplacen en mitja mostra.^[1]

Il·lustració de les extensions implícites parelles/senars de les dades d'entrada de DST, per a N = 9 punts de dades (punts vermells), per als quatre tipus més comuns de DST (tipus I–IV).

La DST està relacionada amb la transformada de cosinus discret (DCT), que és equivalent a una DFT de funcions reals i parelles. Generalment, el DST es deriva del DCT substituint la condició de Neumann a x=0 per una condició de Dirichlet.^[2] Tant el DCT com el DST van ser descrits per Nasir Ahmed T. Natarajan i KR Rao el 1974.^[3][4] El DST de tipus I (DST-I) va ser descrit posteriorment per Anil K. Jain el 1976, i el DST de tipus II (DST-II) va ser descrit després per HB Kekra i JK Solanka el 1978.^[5]

Els DST s'utilitzen àmpliament per resoldre equacions diferencials parcials mitjançant mètodes espectrals, on les diferents variants del DST corresponen a condicions de límit senar/parell lleugerament diferents als dos extrems de la matriu.

Formalment, la transformada sinusoïdal discreta és una funció lineal i inversible F : R ^N -> R ^N (on R denota el conjunt de nombres reals), o equivalentment una matriu quadrada N × N . Hi ha diverses variants del DST amb definicions lleugerament modificades. Els N nombres reals x ₀, x _{N − 1} es transformen en els N nombres reals X ₀, X _{N − 1} segons una de les fórmules:

DST-I:

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N+1}}(n+1)(k+1)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}$

DST-II:

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)(k+1)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}$

DST-III:

${\displaystyle X_{k}={\frac {(-1)^{k}}{2}}x_{N-1}+\sum _{n=0}^{N-2}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}(n+1)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}$

DST-IV:

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}$