Harmonická analýza
obor matematiky / From Wikipedia, the free encyclopedia
Harmonická analýza je odvětví matematiky zabývající se reprezentacemi funkcí nebo signálů jako superpozicí základních vlnění a studiem zobecnění pojmů Fourierova řada a Fourierovy transformace (tj. rozšířený tvar Fourierovy analýzy). V posledních dvou stoletích se harmonická analýza stala rozsáhlým oborem s aplikacemi v mnoha různých oblastech jako teorie čísel, teorie reprezentací, zpracování signálu, kvantová mechanika, teorie přílivu a neurověda.
Termín „harmonický“ je odvozený ze starořeckého slova harmonikos znamenající „hudebně vzdělaný“.[1] Ve fyzikálních problémech vlastní hodnota se tímto slovem označují vlny, jejichž frekvence jsou celočíselnými násobky jiné, stejně jako u harmonických tónů v hudbě, ale termín byl oproti původnímu významu zobecněn.
Klasická Fourierova transformace na Rn je stále předmětem výzkumu, především Fourierova transformace na obecnějších objektech, např. na temperovaných distribucích. Určitá omezení na distribuci f se můžeme např. snažit přenést na Fourierovu transformaci distribuce f. Příkladem je Paleyova–Wienerova věta, z níž okamžitě plyne, že pokud f je nenulovou distribucí kompaktního nosiče (zahrnující funkce kompaktního nosiče), pak jeho Fourierova transformace nikdy nemá kompaktní nosič, což je základní tvar principu neurčitosti v harmonické analýze; viz také konvergence Fourierových řad.
Fourierovy řady lze pohodlně zkoumat v kontextu Hilbertových prostorů, což poskytuje spojení mezi harmonickou analýzou a funkcionální analýzou.