topologický prostor, ve kterém lze každou smyčku stáhnout do jediného bodu From Wikipedia, the free encyclopedia
Topologický prostor se nazývá jednoduše souvislý (nebo 1-souvislý nebo 1-jednoduše souvislý[1]), pokud je obloukově souvislý a každý oblouk mezi dvěma body může být spojitě transformován (intuitivně pro vložené prostory, tak aby zůstaly v daném prostoru) na jiný oblouk, přičemž se zachovávají oba koncové body. Indikátorem, že topologický prostor není jednoduše souvislý, je jeho fundamentální grupa: obloukově souvislý topologický prostor je jednoduše souvislý právě tehdy, když jeho fundamentální grupa je triviální.
Topologický prostor X se nazývá jednoduše souvislý, pokud je obloukově souvislý a jakákoli smyčka v X definovaná jako zobrazení f : S1 → X může být stažena na bod: existuje spojité zobrazení F : D2 → X takové, že funkce F restringovaná na množinu S1 je f. S1 označuje jednotkovou kružnici a D2 uzavřený jednotkový kruh v eukleidovské rovině.
Ekvivalentní formulace je tato: X je jednoduše souvislý právě tehdy, když je obloukově souvislý a když a jsou dva oblouky (tj.: spojitá zobrazení) se stejným počátečním a koncovým bodem (p(0) = q(0) a p(1) = q(1)), pak p lze spojitě deformovat na q při zachování obou koncových bodů. Explicitně existuje homotopie tak, že a .
Topologický prostor X je jednoduše souvislý právě tehdy, když X je obloukově souvislý a fundamentální grupa X je v každém bodě triviální, tj. sestává pouze z neutrálního prvku. Podobně X je jednoduše souvislý právě tehdy, když pro všechny body , množina morfismů ve fundamentálním grupoidu X má jediný prvek.[2]
V komplexní analýze: otevřená podmnožina je jednoduše souvislá právě tehdy, když X i její doplněk na Riemannově sféře jsou souvislé. Množina komplexních čísel s imaginární částí větší než nula a menší než jedna je pěkným příkladem neomezené, souvislé, otevřené podmnožiny roviny, jejíž doplněk není souvislý, je však jednoduše souvislý. Pokud uvolníme požadavek, aby X byla souvislá, vede k zajímavému prozkoumání otevřených podmnožin roviny se souvislým rozšířeným doplňkem. Například (ne nutně souvislá) otevřená množina má souvislý rozšířený doplněk právě tehdy, když každá z jeho souvislých komponent je jednoduše souvislá.
Neformálně řečeno, objekt v našem prostoru je jednoduše souvislý, pokud je tvořen jedním kusem a nemá žádné „díry“, které jím procházejí skrz. Například záchranný kruh ani hrneček (s uchem) není jednoduše souvislý, ale dutý gumový míč jednoduše souvislý je. Ve dvourozměrném prostoru není kružnice jednoduše souvislá, ale kruh a přímka jednoduše souvislé jsou. Prostory, které jsou souvislé, ale ne jednoduše souvislé se nazývají nejednoduše souvislé nebo násobně souvislé.
Definice vylučuje pouze díry tvaru ucha. Koule (nebo, ekvivalentně, gumový míč s dutým středem) je jednoduše souvislá, protože jakoukoli smyčku na povrchu koule můžeme stáhnout na bod, přestože v dutém středu má „díru“. Silnější podmínka, že objekt nemá žádné díry jakýchkoli rozměrů, se nazývá kontraktibilita.
Povrch (dvourozměrné topologické variety) je jednoduše souvislý právě tehdy, když je souvislý a jeho rod plochy (počet uch nebo držadel) je 0.
Univerzální pokrytí libovolného (vhodného) prostoru X je jednoduše souvislá varieta která se zobrazuje na X přes pokrývající zobrazení.
Pokud prostory X a Y jsou homotopicky ekvivalentní a X je jednoduše souvislý, pak je jednoduše souvislý i Y.
Obraz jednoduše souvislé množiny spojitou funkcí nemusí být jednoduše souvislý. Vezmeme například komplexní rovinu zobrazenou exponenciální funkcí: jejím obrazem je komplexní rovina bez počátku (C - {0}), která není jednoduše souvislá.
Je několik důvodů, proč je pojem jednoduché souvislosti důležitý v komplexní analýze:
Pojem jednoduché souvislosti je také klíčovou podmínkou v Poincarého větě.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.