Afinní prostor

Afinní prostor je v geometrii prostor, na kterém je definováno sčítání bodů a vektorů.^[1] Slouží jako model pro afinní geometrii.^[2] Jedná se o zobecnění eukleidovského prostoru.

Definice

Afinní prostor je uspořádaná trojice ${\displaystyle (A,V,f)}$, kde ${\displaystyle A}$ je neprázdná množina, ${\displaystyle V}$ je vektorový prostor nad tělesem ${\displaystyle T}$ a ${\displaystyle f}$ je zobrazení ${\displaystyle A\times A\mapsto V}$ s následujícími vlastnostmi:

1. Pro všechna ${\displaystyle X,Y,Z\in A}$ platí ${\displaystyle f(X,Y)+f(Y,Z)=f(X,Z)}$;
2. existuje ${\displaystyle P\in A}$ tak, že pro všechna ${\displaystyle x\in V}$ existuje právě jedno ${\displaystyle X\in A}$ a platí ${\displaystyle f(P,X)=x}$.

Prvky množiny ${\displaystyle A}$ se nazývají body afinního prostoru. Bod ${\displaystyle P}$ hraje roli počátku. Vektor ${\displaystyle f(X,Y)}$ nazýváme rozdíl bodů a značíme ${\displaystyle Y-X}$. Pro libovolné ${\displaystyle X\in A}$ a ${\displaystyle u\in V}$ nazveme bod ${\displaystyle Y}$, který splňuje ${\displaystyle u=f(X,Y)}$, součtem bodu ${\displaystyle X}$ a vektoru ${\displaystyle u}$ a to značíme ${\displaystyle Y=X+u}$.^[3]

Afinní geometrie

Afinní prostor je úzce spojen s afinní geometrií.^[2] Na afinním prostoru jsou definovány úsečky, přímky, poměry velikostí úseček, nikoli však vzdálenosti bodů nebo úhly vektorů.