Vektor

Tento článek je o matematickému pojmu. Další významy jsou uvedeny na stránce Vektor (rozcestník).

V matematice je vektor definován abstraktně jako prvek vektorového prostoru. Vektory se dají spolu vzájemně sčítat a dále násobit prvky komutativního algebraického tělesa, tzv. skaláry, např. reálnými čísly.

Pokud je vektorový prostor konečněrozměrný a vektory tvoří uspořádané n-tice čísel, tj. pokud se za vektorový prostor volí kartézský součin množin reálných či komplexních čísel, tj. pokud je za vektorový prostor bráno ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ či ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ pro nějaké přirozené číslo ${\displaystyle n}$, tak se jeho prvky nazývají aritmetické vektory. V každém vektorovém prostoru lze díky axiomu výběru najít bázi, která určuje souřadnice daného vektoru vzhledem k této bázi. Pokud jako bázi vektorového prostoru zvolíme ortonormální kanonickou bázi, pak souřadnice vektoru vzhledem k této bázi budou shodné s jeho složkami.

Vektor reálného vektorového prostoru představuje v matematice a fyzice veličinu, která má velikost, směr a orientaci. Vektory se ve fyzice často popisují pomocí souřadnic (složek), které ovšem závisí na volbě souřadnicových os (báze). Vektor bývá zakreslován jako orientovaná úsečka a vektorová proměnná se píše s vodorovnou šipkou nad ní směřující vpravo.

Značení

Vektory se obvykle značí jako orientované úsečky:

Symboly pro vektory jsou obvykle tištěny tučně, jako ${\displaystyle \mathbf {a} }$, to je také konvence použitá v této encyklopedii. Mezi další zvyklosti značení patří ${\displaystyle {\vec {a}}}$. Vektory jsou také často vyjadřovány pomocí svých složek, např. ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\cdots ,a_{n})^{T}}$.

Diferenciální geometrie vyjadřuje vektor v dané souřadné soustavě často pomocí operátorů parciálních derivací, tedy např. jako

${\displaystyle \mathbf {A} =a_{x}{\frac {\boldsymbol {\partial }}{{\boldsymbol {\partial }}x}}+a_{y}{\frac {\boldsymbol {\partial }}{{\boldsymbol {\partial }}y}}+a_{z}{\frac {\boldsymbol {\partial }}{{\boldsymbol {\partial }}z}}}$,

s výhodou se využívá faktu, že při obecných transformacích souřadnic se vektory transformují stejně jako parciální derivace – pomocí řetízkového pravidla.

Kvantová fyzika používá pro zápis vektoru tzv. Diracovu symboliku.

Definice

Aby byl vektor dobře definován, požaduje se následující vlastnost: jestliže si zvolím novou souřadnicovou soustavu a měřím body v prostoru v novém souřadném systému, pak souřadnice vektoru se změní podle stejného vzorce jak souřadnice bodů v prostorů. Tato vlastnost se nazývá kovariance vůči změně (prostorových) souřadnic ("stejná" změna jeho souřadnic, nové se počítají podle stejného pravidla jako souřadnice polohy). Tedy jestliže systém souřadnic podstoupí lineární transformaci popsanou vztahem

${\displaystyle x_{i}^{\prime }=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}}$,

pak složky libovolného vektoru ${\displaystyle \mathbf {v} }$ se podobně transformují podle vztahu

${\displaystyle v_{i}^{\prime }=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}}$,

kde ${\displaystyle v_{i}}$ jsou složky vektoru ${\displaystyle \mathbf {v} }$ v původní soustavě souřadnic a ${\displaystyle v_{i}^{\prime }}$ jsou složky vektoru ${\displaystyle \mathbf {v} }$ v  nové soustavě souřadnic. Tuto transformaci lze vyjádřit v maticovém zápisu jako ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\prime }=\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} }$, kde ${\displaystyle \mathbf {A} }$ je transformační matice se složkami ${\displaystyle a_{ij}}$. Někdy se požaduje invariance ne vůči všem lineárním transformacím, ale jen rotacím a zrcadlením v klasické mechanice, nebo Lorentzovým transformacím ve speciální relativitě.

Pokud není vektor vázán k žádnému pevnému bodu prostoru, tzn. pro jeho vyjádření je důležitý pouze jeho velikost, směr a orientace, pak hovoříme o volném vektoru. Pokud je daný vektor spojen s určitým bodem prostoru (tj. má počátek), pak hovoříme o vázaném vektoru. Pokud je vektor definován v každém bodě prostoru, pak se hovoří o vektorovém poli. Volný vektor je prvkem vektorového prostoru, kdežto vázaný vektor je prvkem afinního prostoru, tj. vektorový prostor doplněný množinou bodů, které každý vektor tzv. zaměří. Ve vektorovém prostoru vektory o stejné velikosti, směru a orientaci jsou totožné, ale v afinním prostoru se mohou lišit svým zaměřením.

V matematice se pod pojmem vektor obvykle rozumí prvek nějakého vektorového prostoru. Tyto prostory mohou být i nekonečněrozměrné, proto někdy má smysl mluvit o tom, že i funkce je vektor, anebo stav fyzikálního systému je vektor, např. v kvantové mechanice.

Příklad radiálního (červený) a axiálního (modrý) vektoru

Radiální a axiální vektor

Radiální a axiální vektor se liší svým vztahem k rotaci souřadnic, radiální vektor se při rotaci souřadnic nezmění, tj.

${\displaystyle \mathbf {v} (-x_{i})=\mathbf {v} (x_{i})}$,

kdežto axiální vektor (pseudovektor) při rotaci souřadnic mění znaménko, tj.

${\displaystyle \mathbf {v} (-x_{i})=-\mathbf {v} (x_{i})}$,

kde ${\displaystyle (-x_{i})}$ označuje souřadnicovou soustavu, která zrcadlí soustavu ${\displaystyle (x_{i})}$.

Příkladem radiálního vektoru je polohový vektor ${\displaystyle \mathbf {r} }$, axiálním vektorem je například vektor úhlové rychlosti ${\displaystyle \mathbf {\omega } }$. Pseudovektory se často konstruují z radiálních vektorů pomocí vektorového součinu.

Operace s vektory

Pokud jsou dva vektory A a B na sebe kolmé, lze velikost výsledného vektoru C určit Pythagorovou větou, tj. pro jejich velikosti ${\displaystyle a,b,c}$ platí ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Sčítání vektorů

Pro dva vektory ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$ je definován jejich součet jako vektor ${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} +\mathbf {B} }$ se složkami ${\displaystyle C_{i}=A_{i}+B_{i}}$.

Násobení vektoru číslem

Pro vektor ${\displaystyle \mathbf {A} }$ a číslo ${\displaystyle k}$ je definován jejich násobek jako vektor ${\displaystyle k\mathbf {A} }$ se složkami ${\displaystyle k\cdot A_{i}}$.

Lineární kombinace vektorů

Lineární kombinace dvou vektorů ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$ je definována jako vektor ${\displaystyle \mathbf {C} =a\mathbf {A} +b\mathbf {B} }$ se složkami ${\displaystyle C_{i}=aA_{i}+bB_{i}}$, kde ${\displaystyle a,b}$ jsou libovolná čísla.

Součin vektorů

Součin vektorů lze definovat jako

• skalární součin
• vektorový součin
• smíšený součin

Další vektorové operace

Operace na vektorech:

• divergence
• rotace
• gradient

Úhel mezi vektory

Úhel mezi vektory lze určit ze znalosti skalárního součinu ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }$ a norem obou nenulových vektorů (${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}}$ resp. ${\displaystyle \|\mathbf {B} \|={\sqrt {\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} }}}$) pomocí vztahu:

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }{\|\mathbf {A} \|\|\mathbf {B} \|}}}$

Vlastnosti vektorových operací

Mějme vektory ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} }$ a skaláry ${\displaystyle a,b}$. Pak platí komutativní zákon pro sčítání vektorů

${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A} }$

Pro sčítání dvou vektorů platí asociativní zákon, tzn.

${\displaystyle \mathbf {A} +(\mathbf {B} +\mathbf {C} )=(\mathbf {A} +\mathbf {B} )+\mathbf {C} }$

Platí také asociativní zákon pro násobení číslem, tedy

${\displaystyle a(b\mathbf {A} )=(ab)\mathbf {A} }$

Dále platí distributivní zákony

${\displaystyle (a+b)\mathbf {A} =a\mathbf {A} +b\mathbf {A} }$

${\displaystyle a(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=a\mathbf {A} +a\mathbf {B} }$

Existuje nulový vektor ${\displaystyle \mathbf {0} }$ splňující následující vztahy

${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {0} =\mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {0} \cdot \mathbf {A} =\mathbf {0} }$

${\displaystyle a\mathbf {0} =\mathbf {0} }$

Ke každému vektoru ${\displaystyle \mathbf {A} }$ existuje opačný vektor ${\displaystyle -\mathbf {A} }$, pro nějž platí

${\displaystyle \mathbf {A} +(-\mathbf {A} )=\mathbf {0} }$

${\displaystyle -(a\mathbf {A} )=(-a)\mathbf {A} =a(-\mathbf {A} )}$

Pokud ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {A} +\mathbf {C} }$, pak

${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {B} +(-\mathbf {A} )=\mathbf {B} -\mathbf {A} }$

Ve trojrozměrném prostoru

Ve trojrozměrném prostoru, kde lze antisymetrický tenzor druhého řádu ztotožnit s axiálním vektorem (pseudovektorem), lze s výhodou využít k algebraickým operacím s vektory vektorového součinu. Je však potřeba mít na zřeteli, že vektorovým součinem dvou radiálních vektorů je vektor axiální (s odlišnou transformací) apod. Výsledek vektorového součinu je kolmý ke směru obou násobených vektorů.

Pro součiny vektorů v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ pak platí důležité vztahy, jako je např. Jacobiho identita pro dvojitý vektorový součin, tzn.

${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=0}$

Tato rovnost mj. ukazuje, že vektorové násobení není asociativní.

Dvojitý vektorový součin lze zjednodušit na rozdíl dvou vektorů podle vztahu (tzv. Grassmannova identita, ve fyzice často zvaná „pravidlo BAC − CAB“:

${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} \,(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} \,(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )}$

Dále platí tzv. Lagrangeova identita

${\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )}$

Jejím speciálním případem je vztah

${\displaystyle {(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )}^{2}={\mathbf {A} }^{2}{\mathbf {B} }^{2}-{(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )}^{2}}$

Dalšími užívanými vztahy jsou

${\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\times (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )=[\mathbf {A} (\mathbf {B} \times \mathbf {D} )]\mathbf {C} -[\mathbf {A} (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )]\mathbf {D} }$

${\displaystyle \mathbf {A} \times [\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )]=(\mathbf {A} \times \mathbf {C} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} )-(\mathbf {A} \times \mathbf {D} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )}$

Dva vzájemně lineárně závislé vektory označujeme jako kolineární (rovnoběžné). Jsou-li dva vektory lineárně závislé, je jeden z nich násobkem druhého, oba tedy určují stejný směr v prostoru a jsou tedy rovnoběžné. Vektorový součin dvou kolineárních vektorů v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ je nulový.

Tři vzájemně lineárně závislé vektory označujeme jako komplanární. Komplanární vektory leží v jedné rovině. Smíšený součin komplanárních vektorů v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ je nulový.

Invariance vektorových operací

Sčítání vektorů ${\displaystyle \mathbf {x} }$ a ${\displaystyle \mathbf {y} }$ je invariantní vůči lineárním zobrazením ${\displaystyle \mathbf {A} }$, tj. ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\mathbf {A} \mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {y} }$.

Skalární součin dvou vektorů z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ je invariantní vůči rotacím (ale i zrcadlením), a to nejen u třírozměrných reálných prostorových vektorů, ale i obecně.

Vektorový součin dvou vektorů z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ je invariantní vůči rotacím (ale ne zrcadlením), tj. ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=\mathbf {A} (\mathbf {v} )\times \mathbf {A} (\mathbf {w} )}$ pro libovolnou rotaci ${\displaystyle \mathbf {A} }$. To znamená, že vektorový součin je dobře definován na třírozměrném reálném vektorovém prostoru, pokud je na něm definován skalární součin a orientace prostoru. Vektorový součin dvou vektorů v prostoru je tedy dobře definován i „fyzikálně“, až na znaménko (je to pseudovektor).

Smíšený součin tří vektorů z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ je invariantní vůči lineárním zobrazením, které zachovávají objem a nemění orientaci prostoru (množina takových zobrazení se standardně značí ${\displaystyle SL(3)}$). Znamená to, že při dané volbě orientace (fyzikálního) třírozměrného prostoru je smíšený součin tří vektorů dobře definován, obecně jeho znaménko závisí na orientaci prostoru (je to pseudoskalár).

Zvláštní druhy vektorů

Jednotkový vektor

Jednotkovým vektorem označujeme vektor e s jednotkovou normou, tzn. ${\displaystyle |\mathbf {e} |=1}$. Jednotkový vektor ve směru nenulového vektoru ${\displaystyle \mathbf {v} }$ je určen vztahem

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}\qquad }$ tj. ${\displaystyle \qquad |{\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}|={\sqrt {\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }}}=1}$

Nulový vektor

Nulový vektor ${\displaystyle \mathbf {0} }$ je zvláštním případem vektoru, který lze zapsat jako uspořádanou n-tici ${\displaystyle (0,0,\cdots ,0)}$, tzn. všechny složky vektoru jsou nulové. Norma nulového vektoru je rovna nule. Z fyzikálního hlediska nemá nulový vektor směr ani orientaci.

Tečný vektor

Tečný vektor je vektor vyskytující se na varietách, který má počátek (tj. pevný bod, z kterého vychází) a určuje rychlost pohybujícího se objektu, který daným bodem prochází. (Formálně se definuje tak, že hladké funkci přiřadí příslušnou směrovou derivaci). Ve fyzice se často pracuje s vektorovými poli na varietách.

Hermitovsky sdružený vektor

Hermitovsky sdružený vektor k vektoru s komplexními složkami ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}$ je vyjádřen jako vektor s jeho komplexně sdruženými složkami ${\displaystyle (a_{1}^{*},a_{2}^{*},\cdots ,a_{n}^{*})}$, tj.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\cdot (a_{1}^{*},a_{2}^{*},\cdots ,a_{n}^{*})^{T}=|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\cdots +|a_{n}|^{2}}$

Hermitovské sdružení představuje aplikaci transpozice a komplexního sdružení.

Související články

• Skalár
• Tenzor
• Čtyřvektor
• Řídký vektor
• Diracova notace
• Vektorový prostor
• Vektorové pole

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu vektor na Wikimedia Commons

Portály: Matematika