Diferenciální forma

From Wikipedia, the free encyclopedia

Remove ads

Diferenciální forma stupně k neboli diferenciální k-forma je matematické zobecnění totálního diferenciálu na orientovatelné hladké varietě. Formálně jde o zobrazení s hodnotami ve vnější tenzorové mocnině kotečného prostoru variety. V každém bodě variety diferenciální forma určuje antisymetrickou multilineární formu, která k vektorovým polím přiřadí číslo, skalár.

Neformálně je diferenciální -forma objekt, který se dá integrovat přes k-rozměrné variety, výraz vystupující za symbolem integrálu.

Někdy se pod pojmem diferenciální forma rozumí lineární diferenciální forma (1. stupně, 1-forma, Pfaffova forma, neúplný diferenciál, neexaktní diferenciál), které jsou přímým zobecněním totálního diferenciálu a mají důležité uplatnění např. v termodynamice. V souřadnicích se dá lokálně vyjádřit jako

.
Remove ads

Geometrická definice

Diferenciální forma stupně k je hladké alternující kovariantní tenzorové pole stupně k na hladké varietě:

je hladká varieta. Zobrazení nazveme diferenciální -formou, pokud je hladké zobrazení a .

je tzv. k-tá vnější mocnina vektorového prostoru , duálu k tečnému prostoru v bodě m. Často označujeme symbolem .

Vektorový prostor vnějších diferenciálních -forem označujeme symbolem .

Remove ads

Vyjádření v souřadnicích

Je-li lokální mapa (soustava souřadnic) z atlasu na , potom

kde je multindex délky a .

Remove ads

Příklady

Hladká funkce na varietě je diferenciální forma stupně 0.

Klasickým příkladem diferenciální formy je totální diferenciál funkce , tj.:

, kde parciální derivace funkce v bodě tvoří vektorové pole .

Obecnějším příkladem lineární diferenciální formy, jež není totálním diferenciálem funkce, je forma v

.

Integrací objemové d. f. v

přes měřitelnou množinu dostaneme její objem.

Remove ads

De Rhamův diferenciál

Prostor diferenciálních forem stupně k na varietě M dimenze n se značí , prostor všech diferenciálních forem . Na prostoru k-forem je dán De Rhamův diferenciál . Posloupnost se nazývá De Rhamův komplex a jeho kohomologie jsou izomorfní singulárním kohomologiím s hodnotami v .

Remove ads
Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads