Diferenciální forma
From Wikipedia, the free encyclopedia
Remove ads
Diferenciální forma stupně k neboli diferenciální k-forma je matematické zobecnění totálního diferenciálu na orientovatelné hladké varietě. Formálně jde o zobrazení s hodnotami ve vnější tenzorové mocnině kotečného prostoru variety. V každém bodě variety diferenciální forma určuje antisymetrickou multilineární formu, která k vektorovým polím přiřadí číslo, skalár.
Neformálně je diferenciální -forma objekt, který se dá integrovat přes k-rozměrné variety, výraz vystupující za symbolem integrálu.
Někdy se pod pojmem diferenciální forma rozumí lineární diferenciální forma (1. stupně, 1-forma, Pfaffova forma, neúplný diferenciál, neexaktní diferenciál), které jsou přímým zobecněním totálního diferenciálu a mají důležité uplatnění např. v termodynamice. V souřadnicích se dá lokálně vyjádřit jako
- .
Remove ads
Geometrická definice
Diferenciální forma stupně k je hladké alternující kovariantní tenzorové pole stupně k na hladké varietě:
je hladká varieta. Zobrazení nazveme diferenciální -formou, pokud je hladké zobrazení a .
je tzv. k-tá vnější mocnina vektorového prostoru , duálu k tečnému prostoru v bodě m. Často označujeme symbolem .
Vektorový prostor vnějších diferenciálních -forem označujeme symbolem .
Remove ads
Vyjádření v souřadnicích
Je-li lokální mapa (soustava souřadnic) z atlasu na , potom
kde je multindex délky a .
Remove ads
Příklady
Hladká funkce na varietě je diferenciální forma stupně 0.
Klasickým příkladem diferenciální formy je totální diferenciál funkce , tj.:
- , kde parciální derivace funkce v bodě tvoří vektorové pole .
Obecnějším příkladem lineární diferenciální formy, jež není totálním diferenciálem funkce, je forma v
- .
Integrací objemové d. f. v
přes měřitelnou množinu dostaneme její objem.
Remove ads
De Rhamův diferenciál
Prostor diferenciálních forem stupně k na varietě M dimenze n se značí , prostor všech diferenciálních forem . Na prostoru k-forem je dán De Rhamův diferenciál . Posloupnost se nazývá De Rhamův komplex a jeho kohomologie jsou izomorfní singulárním kohomologiím s hodnotami v .
Remove ads
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads