Vektorové pole

Vektorové pole je v matematice a fyzice (zpravidla spojitá a dostatečně hladká) funkce přiřazující každému bodu prostoru vektor. V klasické fyzice jsou vektory obvykle umístěny v Euklidovském prostoru, ve speciální relativitě v Minkowského prostoru, obecněji může jít o jakoukoliv hladkou varietu.

Vektorové pole – každému bodu roviny je přiřazen vektor.

Ve fyzice se užívá k popisu toho, jak se daná vektorová veličina mění bod od bodu. Příkladem může být pole rychlostí kapaliny v jednotlivých bodech, nebo vektorové pole síly v gravitačním poli.

Matematicky se vektorové pole na (hladké) varietě definuje jako zobrazení mezi danou varietou a jejím tečným bandlem. Přesněji řečeno, takto se definuje tečné vektorové pole. V moderní geometrii se často pod pojmem vektorové pole rozumí jakákoliv sekce vektorového bundlu (takto obecná definice zahrnuje i spinorová nebo tensorová pole na varietách).

Definice

Obecné vektorové pole

Mějme hladkou varietu M, pak vektorovým polem W na M nazveme zobrazení$${\displaystyle x\mapsto {}W(x),\quad W(x)\in {}T_{x}{}M,\ x\in {}M,}$$kde ${\textstyle T_{x}{}M}$ je tečný prostor M v bodě x.

Hladké vektorové pole

Řekneme, že vektorové pole W je hladké, pokud pro každou hladkou funkci f na M, je ${\textstyle W[f]}$ opět hladkou funkcí na M. Ekvivalentně v lokálních souřadnicích ${\textstyle ({\mathcal {O}},x^{i})}$ na M: vektorové pole ${\textstyle W(x)=\sum _{i}W^{i}(x){\frac {\partial }{\partial {}x^{i}}}|_{x}}$ nazveme hladké na ${\textstyle {\mathcal {O}}}$, jestliže všechny funkce ${\textstyle W^{i}}$ jsou hladké na ${\textstyle {\mathcal {O}}}$.

Transformace pole

Ve fyzice se obvykle zapisuje pole pomocí souřadnic. Někdy je potřebné přejít do nových souřadnic, ve kterých bude zápis vypadat jinak. Předpokládejme, pro obecnost, že máme lokální souřadnice ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ a vektory vyjadřujeme jako tečné vektory, tj. ${\displaystyle \sum _{j}a_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$. Nechť je pole zapsáno v původních souřadnicích jako ${\displaystyle \sum _{j}f_{j}(\{x_{i}\}_{i}){\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$, tj. je reprezentováno funkcemi ${\displaystyle f_{i}}$ (což jsou souřadnice vektorů). Nechť ${\displaystyle \{x_{i}'\}_{i}}$ jsou nové souřadnice a nechť bod se souřadnicemi ${\displaystyle \{x_{i}'\}_{i}}$ má v starých souřadnicích zápis ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i}=\psi (\{x_{i}'\}_{i})}$ kde ${\displaystyle \psi }$ je homeomorfizmus. Pak v nových souřadnicích se dá pole zapsat jako ${\displaystyle \sum _{j}\sum _{i}f_{i}\circ \psi (\{x_{k}'\}_{k}){\frac {\partial x_{j}'}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}'}}.}$

Ve fyzice se obvykle předpokládá, že pokud jsme schopni vektorové pole nějak měřit nebo počítat z jiných veličin, pak změníme pozorovatele takovým způsobem, aby se „fyzikální zákony“ nezměnily (například v klasické fyzice je to posunutí, otočení a zrcadlení pozorovatele, ve speciální relativitě Poincarého transformace), pak by pozorovatel v nových souřadnicích měl být schopen změřit nebo spočíst to samé pole (třebaže v souřadnicích jinak vyjádřené).

Související články

• Vektor
• Tenzorové pole

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu vektorové pole na Wikimedia Commons