Frobeniova matice

Možná hledáte: Frobeniova maticová norma.

Frobeniova matice je v numerické matematice speciální druh čtvercové matice, která splňuje následující tři vlastnosti:

• všechny položky na hlavní diagonále jsou jedničky
• položky v jednom libovolném sloupci pod hlavní diagonálou jsou libovolné
• všechny ostatní položky jsou nulové

Frobeniova matice tady vypadá takto:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&a_{32}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&a_{n2}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}}$

Frobeniovy matice jsou pojmenované po Ferdinandu Georgu Frobeniovi. Někdy se také nazývají Gaussovy transformace po Carlu Friedrichu Gaussovi.^[1] Frobeniovy matice se používají při Gaussově eliminační metodě pro reprezentaci gaussovských transformací.

Násobení libovolné matice zleva (levé násobení) Frobeniovou maticí odpovídá přičtení určité lineární kombinace zbývajících řádků k určitému řádku matice. Násobení inverzní maticí odpovídající lineární kombinaci od daného řádku odečte. To odpovídá jedné elementární operaci při gaussovské eliminaci (vedle transpozice řádků a násobení řádku skalárem).

Vlastnosti

Frobeniovy matice jsou invertibilní. Inverzí Frobeniovy matice je opět Frobeniova matice, která se od původní matice liší obrácenými znaménky čísel mimo hlavní diagonálu. Inverzní matice k výše uvedené matici tedy je:

${\displaystyle A^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&-a_{32}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&-a_{n2}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}}$

Tento vzorec lze dokonce zobecnit na jakoukoli mocninu matice. Pro všechna ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ platí:

${\displaystyle A^{k}={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&k\cdot a_{32}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&k\cdot a_{n2}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}=I+k\cdot (A-I)}$