Funkce beth

Funkce Beth pojmenovaná po druhém písmenu hebrejské abecedy zapisovaná rovněž jako ${\displaystyle \beth }$ je jedním ze způsobů zápisu určitých nekonečných kardinálních čísel v teorii množin.

Definice

Funkce Beth přiřazuje každému ordinálnímu číslu ${\displaystyle \alpha }$ následujícím rekurzivním způsobem kardinální číslo ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$:^[1]

• ${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$, kde ${\displaystyle \aleph _{0}}$ je nejmenší nekonečný kardinál, viz Funkce alef.
• ${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}}$ pro izolovaný ordinál ${\displaystyle \alpha +1}$ (tj. mohutnost potenční množiny ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$).
• ${\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup _{\alpha <\lambda }\beth _{\alpha }}$ pro limitní ordinál ${\displaystyle \lambda }$.

Vztah k hypotézám kontinua

• Hypotéza kontinua je ekvivalentní s ${\displaystyle \aleph _{1}=\beth _{1}}$, tedy ${\displaystyle \beth _{1}}$ je mohutností potenční množiny spočetné množiny a tudíž rovna mohutnosti kontinua ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Zobecněná hypotéza kontinua je ekvivalentní s ${\displaystyle \aleph =\beth }$, tedy ${\displaystyle \aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }}$ pro všechna ordinální čísla ${\displaystyle \alpha }$.

Vztah k limitním a nedosažitelným kardinálům

Limitní kardinál ${\displaystyle \kappa }$ se nazývá silně limitním, jestliže ${\displaystyle \mu ^{\lambda }<\kappa }$ pro všechny kardinály ${\displaystyle \lambda ,\mu <\kappa }$.

• Kardinál ${\displaystyle \kappa }$ je silně limitní, právě když ${\displaystyle \kappa =\beth _{\xi }}$ pro limitní ordinál ${\displaystyle \xi }$.^[2]

Platí ${\displaystyle \alpha \leq \aleph _{\alpha }\leq \beth _{\alpha }}$ pro všechna ordinální čísla ${\displaystyle \alpha }$. Lze ukázat, že funkce ${\displaystyle \beth }$ má pevné body, tj. takové ordinály ${\displaystyle \alpha }$, pro než ${\displaystyle \alpha =\beth _{\alpha }}$.

• Nejmenším pevným bodem je přitom limita posloupnosti ${\displaystyle \beth _{0},\beth _{\beth _{0}},\beth _{\beth _{\beth _{0}}},\ldots }$, tedy neformálně ${\displaystyle \beth _{\beth _{{}_{\ddots }}}}$.
• Zrovna tak jsou (silně) nedosažitelné kardinály pevnými body funkce ${\displaystyle \beth }$.