Gama funkce

Gama funkce (někdy také označovaná jako Eulerův integrál druhého druhu) je zobecněním faktoriálu pro obor komplexních čísel. Používá se v mnoha oblastech matematiky, např. pro popis některých rozdělení pravděpodobnosti.

Graf funkce gama pro reálná čísla.

Funkce je značena pomocí řeckého písmene gama a je definována jako holomorfní rozšíření integrálu:

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}$

Ačkoliv integrál samotný konverguje jen, je-li reálná část z kladná, gama funkce je definována pro libovolné komplexní číslo, kromě nekladných celých čísel.

Vlastnosti

Funkce ${\displaystyle \Gamma }$ je spojitá pro ${\displaystyle z>0}$. Funkce ${\displaystyle \Gamma }$ diverguje pro celá ${\displaystyle z\leq 0}$. Tyto body jsou póly prvního řádu a odpovídající rezidua jsou ${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=k,k\in \mathbb {Z} ,k\leq 0}\Gamma (z)={\frac {(-1)^{-k}}{\Gamma (-k)}}}$. Jiné singularity nemá a jedná se tedy o funkci meromorfní v celém oboru ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Pro n-tou derivaci platí vztah

${\displaystyle \Gamma ^{(n)}(z)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\ln ^{n}t\,\mathrm {d} t}$.

V oblasti kladných reálných čísel má gama funkce minimum v bodě ${\displaystyle x\approx 1{,}461\,6}$.

Užitečné vztahy

• Pro přirozená čísla ${\displaystyle n}$ platí ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,}$
• Pro kladná polocelá čísla můžeme psát pomocí dvojného faktoriálu

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {n}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}{\frac {(n-2)!!}{2^{\frac {n-1}{2}}}}}$

• ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\,}$
• ${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\;{\mbox{ pro }}0<z<1}$
• ${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2z-1}}}\Gamma (2z)}$

Některé hodnoty

${\displaystyle x}$	${\displaystyle \Gamma (x)}$
${\displaystyle -2}$	nedefinováno
${\displaystyle -{\frac {3}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}}$
${\displaystyle -1}$	nedefinováno
${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -2{\sqrt {\pi }}}$
${\displaystyle 0}$	nedefinováno
${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0!=1}$
${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 1!=1}$
${\displaystyle {\frac {5}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 2!=2}$
${\displaystyle {\frac {7}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 3!=6}$

Grafy

• 
  Reálná část Γ(z)
• 
  Imaginární část Γ(z)
• 
  Absolutní hodnota Γ(z)
• 
  Absolutní hodnota Γ(z), 3D pohled

Související články

• Beta funkce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu gama funkce na Wikimedia Commons
• Gama funkce v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Online kalkulátor Gama funkce

Portály: Matematika