Gaussův integrál

Gaussův integrál, také známý jako Eulerův-Poissonův integrál či Poissonův integrál,^[1] je integrál Gaussovy funkce ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$ přes celou reálnou osu:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$.

Graf funkce ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$ a plochy mezi funkcí a osou ${\displaystyle x}$; tato plocha se rovná ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {\pi }}}$

Jména tomuto integrálu dali matematici Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler a Siméon Denis Poisson.

Výpočet

Integrál Gaussovy funkce označíme ${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle Y=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\mathrm {d} x}$.

Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle Y^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\mathrm {d} x\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-y^{2}}\mathrm {d} y}$.

Součin integrálů odpovídá dvojnému integrálu funkce dvou proměnných, která je součinem původních funkcí:

${\displaystyle Y^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\mathrm {e} ^{-y^{2}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-(x^{2}+y^{2})}\mathrm {d} x\mathrm {d} y}$.

Graf této funkce si můžeme představit jako kopec (tvarem připomíná horu Říp) nad rovinou s kartézskými souřadnicemi ${\displaystyle (x,y)}$. Integrál představuje objem kopce. Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu polární soustava souřadnic ${\displaystyle (\varphi ,r)}$, do kterých funkci přepíšeme:

${\displaystyle Y^{2}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }r\mathrm {e} ^{-r^{2}}\mathrm {d} r\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi \int _{0}^{\infty }r\mathrm {e} ^{-r^{2}}\mathrm {d} r}$.

Tento integrál už lze jednoduše vyřešit substitucí ${\displaystyle u=r^{2}}$ a jeho hodnota je ${\displaystyle \pi }$. Odmocněním rovnice dostaneme výsledek:

${\displaystyle Y={\sqrt {\pi }}}$.