Hexace

Hexace (nebo také hyper-6 či sextace^[1]) je aritmetická^[2] a matematická operace, která je rozšířením pentace. Je to šestý hyperoperátor, počínající od sčítání. Zatímco tetrace je opakované umocňování a pentace opakované tetrování, hexace je opakované pentování. Opakovaná hexace se nazývá heptace. Jde též o binární operaci. Pojem "hexace" vytvořil Reuben Goodstein ze slov hexa (šestý hyperoperátor) a interace. Kvůli nekomutativnosti má dvě inverzní funkce, a to hexaodmocnina a hexalogaritmus.

Definice

Hexace je definována jako iterovaná pentace. Zapisuje se pomocí knuthova šipkova zápisu, nebo ve tvaru ${\displaystyle a{\hat {}}{\hat {}}{\hat {}}{\hat {}}b}$. Čte se "a hexace b".

Zápis vzorce: ${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=a\uparrow ^{4}b=\underbrace {a\,\uparrow \uparrow \uparrow \,(a\,\uparrow \uparrow \uparrow \,(\dots \,\uparrow \uparrow \uparrow \,a))} _{b{\text{ opakování }}a}.}$

V případě druhé hexace můžeme použít vzorec:

${\displaystyle a\uparrow ^{4}2=a\uparrow ^{3}a=\underbrace {{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a}a} _{a{\text{ opakování }}a}}$.

Příklady výpočtu

I hexace malých čísel vede na nesmírně velká čísla. Rychlost růstu této funkce je ${\displaystyle f_{5}(n)}$ v rychle rostoucí hierarchii.

• ${\displaystyle 1\uparrow ^{4}1=1}$

• ${\displaystyle 1\uparrow ^{4}a=1}$

• ${\displaystyle a\uparrow ^{4}1=a}$

• ${\displaystyle a\uparrow ^{4}0=1}$

• ${\displaystyle \underbrace {2\uparrow ^{4}2} _{\text{ hexace }}=\underbrace {2\uparrow ^{3}2} _{\text{ pentace }}=\underbrace {{}^{2}2} _{\text{ tetrace }}=\underbrace {2^{2}} _{\text{ umocňování }}=\underbrace {2\cdot 2} _{\text{ násobení }}=\underbrace {2+2} _{\text{ sčítání }}=\underbrace {2+1+1} _{\text{ přidávání }}=4}$

• ${\displaystyle 2\uparrow ^{4}3=2\uparrow ^{3}(2\uparrow ^{3}2)=2\uparrow ^{3}4=\underbrace {2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 2))} _{4{\text{ opakování }}2}={}^{{}^{{}^{2}2}2}2={}^{{}^{4}2}2={}^{65536}2=\underbrace {2\uparrow (2\uparrow (\dots \uparrow 2))} _{2\uparrow (2\uparrow 2)=65536{\text{ opakování }}2}=\underbrace {2^{2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}}} _{65536{\text{ opakování }}2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}3\uparrow ^{4}2&=3\uparrow ^{3}3=3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)={}^{{}^{3}3}3={}^{7625597484987}3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow (3\uparrow 3))=\underbrace {3\uparrow (3\uparrow (\dots \uparrow 3))} _{3\uparrow (3\uparrow 3)=7625597484987{\text{ opakování }}3}=\\&=\underbrace {3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}} _{3\uparrow (3\uparrow 3){\text{ opakování }}3}=titri\approx \exp _{10}^{7625597484986}(1{,}09902)\end{aligned}}}$

$${\displaystyle \mathrm {4} \uparrow ^{4}2=4\uparrow ^{3}4=4\uparrow \uparrow \uparrow 4=\underbrace {4\uparrow \uparrow (4\uparrow \uparrow (4\uparrow \uparrow 4))} _{4{\text{ opakování }}4}={}^{{}^{{}^{4}4}4}4={}^{{}^{4^{4^{4^{4}}}}4}4={}^{{}^{4^{4^{256}}}4}4={}^{{}^{4^{(1.34078\cdot 10^{154})}}4}4={}^{{}^{\exp _{10}^{3}(2.18726)}4}4=\underbrace {{}_{\exp _{10}^{3}(2.18726);(3.6\cdot 10^{12}){\text{ krát }}4}^{\underbrace {\left({4^{4^{4^{4^{4^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{4}}}}}}}}}\right)} }4} _{\text{ tetrace }}}$$

Využití

Hexace je jen velmi málo využitá v reálném světě a dokonce i v matematice. Je to proto, že hexace i poměrně malých čísel vede na čísla neskutečných velikostí, která nejsou prakticky použitelná a nedají se uplatnit nebo využít (např. ${\displaystyle 4\uparrow ^{4}2}$, atd.). Kdyby se měla zapsat v běžném nebo dokonce mocninovém zápisu, čísla by zasahovala k sousedním galaxiím.^[3] Proto jde o vzácnou matematickou funkci.

Výpočet Grahamova čísla

Našlo by se uplatnění pro hexativní výpočet ${\displaystyle 3\uparrow ^{4}3=3\uparrow ^{3}titri=G_{1}}$^[4], který se používá jako první hodnota Grahamovy funkce (g₁). Číslo tohoto výpočtu je grahal.^[5] K výpočtu Grahamova čísla je potřeba hyperoperátor o 64. hodnotě Grahamovy funkce.

Ukázka 1. až 3. Grahamovy funkce:

• ${\displaystyle G_{1}=3\uparrow ^{4}3}$ (1. funkce)
• ${\displaystyle G_{2}=3\uparrow ^{G_{1}}3=3\uparrow ^{3\uparrow ^{4}3}3}$ (2. funkce)
• ${\displaystyle G_{3}=3\uparrow ^{G_{2}}3=3\uparrow ^{3\uparrow ^{3\uparrow ^{4}3}3}3}$ (3. funkce)

Podle tohoto způsobu by též šlo definovat ${\displaystyle G_{n}=3\uparrow ^{G_{n-1}}3}$, kde ${\displaystyle G_{1}}$ představuje hexativní výpočet ${\displaystyle 3\uparrow ^{4}3}$.

Dle předešlých definicí se Grahamovo číslo rovná výpočtu ${\displaystyle G_{64}=3\uparrow ^{G_{63}}3}$.

Také si všimněme, že zápis výpočtu ${\displaystyle 3\uparrow ^{4}3}$ (hexace) lze také zapsat také pomocí heptace takto ${\displaystyle 3\uparrow ^{5}2}$. Lze to proto, že v příkladě 3 hexace 3 máme stejný základ a stejně krát hexaci. A to můžeme právě promítnout do vyššího hyperoperátora - heptaci. Proto by například šlo ${\displaystyle \underbrace {3\uparrow ^{4}(3\uparrow ^{4}3)} _{\text{ hexace }}=\underbrace {3\uparrow ^{5}3} _{\text{ heptace }}=\underbrace {3\uparrow ^{6}2} _{\text{ oktace }}}$.