Prosté zobrazení

Prosté zobrazení (injektivní zobrazení, zkráceně injekce) je typ zobrazení mezi množinami, které různým vzorům přiřazuje různé obrazy. Nestane se tedy, že by jeden obraz měl několik různých vzorů a jeden vzor více obrazů. K prostému zobrazení existuje inverzní zobrazení. Na rozdíl od surjekce (zobrazení na) mohou existovat prvky cílové množiny, které nemají svůj vzor. V anglické literatuře je prosté zobrazení často označováno one to one (jedna k jedné).

Prosté zobrazení

Definice

Zobrazení ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ nazýváme prosté (injektivní), jestliže platí implikace:

${\displaystyle \forall (x_{1},x_{2}\in X):(x_{1}\neq x_{2})\Rightarrow (f(x_{1})\neq f(x_{2}))}$,

někdy se uvádí ekvivalentní definice s implikací v kontrapozici:

${\displaystyle \forall (x_{1},x_{2}\in X):(f(x_{1})=f(x_{2}))\Rightarrow (x_{1}=x_{2})}$.

Značení

Pro prosté zobrazení se někdy používá upravený symbol šipky mezi množinami: ${\displaystyle f:X\rightarrowtail Y}$^[zdroj?] nebo ${\displaystyle f:X\hookrightarrow Y}$^[1] namísto zápisu dále nespecifikovaného zobrazení:${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ .

Příklady

• Lineární zobrazení je prosté, právě když determinant odpovídající transformační matice je nenulový.
• Reálná funkce ${\displaystyle f(x)=2x+1}$ je prostá, protože pokud ${\displaystyle f(x)=f(y)}$, platí i ${\displaystyle 2x+1=2y+1}$, tedy ${\displaystyle x=y}$.
• Reálná funkce ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$ není prostá, neboť např. ${\displaystyle g(-1)=g(1)}$. Pokud ale funkci ${\displaystyle g}$ omezíme na interval ${\displaystyle \langle 0,\infty )}$, je ${\displaystyle g}$ prostá.
• Reálné funkce ${\displaystyle e^{x}}$ a ${\displaystyle \ln x}$ jsou prosté.
• Periodické funkce obecně nejsou prosté (prosté jsou, pokud je omezíme na interval délky jedné periody nebo půlperiody).
• Cyklometrické funkce jsou definovány jako inverzní ke goniometrickým na intervalu jedné periody, tudíž prosté jsou.
• Každá ryze monotónní funkce (tj. rostoucí nebo klesající) je prostá.
• Sudá funkce nemůže být prostá.
• V teorii pravděpodobnosti distribuční funkce je prostá, ale hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny prostá není.