Determinant

Determinant čtvercové matice je skalár, který je funkcí prvků matice. Charakterizuje některé vlastnosti matice a s ní souvisejícího lineárního zobrazení. Determinant je nenulový, právě když je matice regulární a zobrazení je isomorfismus. Determinant součinu matic je součinem jejich determinantů.

Absolutní hodnota determinantu matice ${\displaystyle 2\times 2}$ udává obsah rovnoběžníku, jehož hrany určují sloupce (nebo řádky) matice.

Determinant matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ s prvky ${\displaystyle a_{ij}}$ se značí ${\displaystyle \det({\boldsymbol {A}})}$^[1] nebo pomocí svislých čar kolem zápisu prvků matice:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}}$

Mezi další zápisy patří zkrácená forma ${\displaystyle |{\boldsymbol {A}}|}$, případně ${\displaystyle |a_{ij}|}$. Je-li parametrem jen jedna matice, není třeba psát závorky: ${\textstyle \det {\boldsymbol {A}}}$.

Determinanty se vyskytují v mnoha oblastech matematiky. Pokud je matice tvořena koeficienty soustavy lineárních rovnic, má soustava jednoznačné řešení, právě když je determinant nenulový. V tomto případě je možné vyjádřit každou složku řešení podílem dvou determinantů (Cramerovo pravidlo). Determinanty se používají pro definici charakteristického polynomu matice a k následnému určení vlastních čísel a vlastních vektorů. Při substituci ve vícerozměrném integrálu umožňuje determinant Jacobiho matice provést přechod z kartézských do křivočarých souřadnic. V geometrii vyjadřuje absolutní hodnota determinantu obsah rovnoběžníku a objem rovnoběžnostěnu. Pomocí determinantu je v praxi zapisován vektorový součin a s ním související pojmy, například rotace vektorového pole.

Definice

Determinant čtvercové matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ řádu ${\displaystyle n}$ s prvky z libovolného tělesa ${\displaystyle K}$ (např. reálných či komplexních čísel) nebo komutativního okruhu lze nadefinovat různými způsoby.

Leibnizova formule

Gottfried Leibniz definoval determinant výrazem:

${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}{a}_{i,\sigma (i)}}$

Součet se počítá přes všechny permutace ${\displaystyle \sigma }$ čísel ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ a ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$ značí znaménko permutace ${\displaystyle \sigma }$: sudé permutace mají znaménko ${\displaystyle +1}$, a liché ${\displaystyle -1}$.

Tento vzorec obsahuje ${\displaystyle n!}$ (faktoriál) sčítanců, což jej s růstem ${\displaystyle n}$ rychle činí prakticky nepoužitelným pro výpočet. V praxi se proto používají jiné způsoby výpočtu.

Vzorec lze také vyjádřit pomocí Levi-Civitova symbolu ${\displaystyle \varepsilon _{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}}$ jako

${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}=\sum _{j_{1},j_{2},...,j_{n}}\varepsilon _{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}=\sum _{j_{1},j_{2},...,j_{n}}\varepsilon _{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}a_{j_{1}1}a_{j_{2}2}\cdots a_{j_{n}n}}$

Pro okrajový případ prázdné matice řádu 0 se determinant definuje 1 (existuje právě jedna permutace prázdné množiny a prázdný součin je 1).

Rekurentní předpis

Determinant matice řádu 1 je roven jejímu jedinému prvku, neboli ${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}=a_{11}}$.

Determinant matice řádu ${\displaystyle n>1}$ je dán rekurentně předpisem:

${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}A_{i1}}$,

kde ${\displaystyle A_{i1}}$ je determinant matice řádu ${\displaystyle n-1}$, která vznikne z matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ vynecháním i-tého řádku a prvního sloupce

Uvedený postup se nazývá Laplaceův rozvoj podle prvního sloupce.

Axiomatická definice

Zobrazení ${\displaystyle \det \colon K^{n\times n}\to K}$ z prostoru čtvercových matic do příslušného tělesa ${\displaystyle K}$ zobrazuje libovolnou matici zapsanou po sloupcích ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ na její determinant, pokud splňuje následující tři Weierstrassovy axiomy:

• Je multilineární, tj. lineární v každém sloupci:

Pro všechny vektory ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n},w\in K^{n}}$ platí:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i}+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})\\&=\det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})+\det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})\end{aligned}}}$

Pro všechny vektory ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}}$ a všechny skaláry ${\displaystyle r\in K}$ platí:

${\displaystyle \det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},r\cdot v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})=r\cdot \det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$

• Je alternující (střídavá), tj. pokud se dva sloupce matice shodují, je determinant roven 0:

Pro všechny vektory ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}}$ a všechny dvojice indexů ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}$:

${\displaystyle \det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{j-1},v_{i},v_{j+1}\ldots ,v_{n})=0}$

Z toho vyplývá, že při záměně dvou sloupců se znaménko změní:

Pro všechny vektory ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}}$ a všechny dvojice indexů ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}$:

${\displaystyle \det(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{j},\ldots ,v_{n})=-\det(v_{1},\ldots ,v_{j},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{n})}$

Tento vztah se často používá k definici střídavosti, ale ekvivalentní s výše uvedeným, jen pokud má příslušné těleso charakteristiku různou od 2.

• Je normalizovaná, tj. jednotková matice má determinant 1:

${\displaystyle \det \mathbf {I} =1}$.

Karl Weierstrass dokázal v roce 1864, ale patrně již dříve,^[2] že normalizovaná alternující multilineární forma ${\displaystyle \det }$ na algebře čtvercových matic řádu ${\displaystyle n}$ vždy existuje a je jednoznačná.

Ukázky

Matice řádu 2

Na dvouprvkové množině jsou dvě permutace: sudá identita ${\displaystyle (1,2)}$ a lichá transpozice ${\displaystyle (2,1)}$. Podle Leibnizovy formule i rekurentního předpisu dostáváme vzorec pro determinant:

${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}$

Ukázka výpočtu determinantu:

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}3&7\\1&-4\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}3&7\\1&{-4}\end{vmatrix}}=3\cdot (-4)-7\cdot 1=-19.}$

Výpočet determinantu Sarrusovým pravidlem

Matice řádu 3

Pro matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ řádu 3 má Leibnizův vzorec šest členů. Tři odpovídají sudým permutacím ${\displaystyle (1,2,3)}$, ${\displaystyle (2,3,1)}$, ${\displaystyle (3,1,2)}$, zatímco zbývající tři lichým ${\displaystyle (1,3,2)}$, ${\displaystyle (2,1,3)}$, ${\displaystyle (3,2,1)}$:

${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}\,}$

Permutace ${\displaystyle (1,2,3)}$ odpovídá sčítanci ${\displaystyle +a_{11}a_{22}a_{33}}$, zatímco ${\displaystyle (1,3,2)}$ odpovídá členu ${\displaystyle -a_{11}a_{23}a_{32}}$ apod.

Ukázka výpočtu determinantu:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&1&2\\3&2&1\\1&1&0\end{vmatrix}}=0\cdot 2\cdot 0+1\cdot 1\cdot 1+2\cdot 3\cdot 1-0\cdot 1\cdot 1-1\cdot 3\cdot 0-2\cdot 2\cdot 1=0+1+6-4=3}$

Rekurentní předpis dává stejný výsledek:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&1&2\\3&2&1\\1&1&0\end{vmatrix}}=0\cdot {\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}}-3\cdot {\begin{vmatrix}1&2\\1&0\end{vmatrix}}+1\cdot {\begin{vmatrix}1&2\\2&1\end{vmatrix}}}$

${\displaystyle =0\cdot (2\cdot 0-1\cdot 1)-3\cdot (1\cdot 0-1\cdot 2)+1\cdot (1\cdot 1-2\cdot 2)=0+6-3=3}$

Mnemotechnická pomůcka sloužící k zapamatování postupu výpočtu determinantu třetího řádu se nazývá Sarrusovo pravidlo.

Vlastnosti

• Determinant jednotkové matice splňuje ${\displaystyle \det \mathbf {I} =1}$
• Determinant trojúhelníkové matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je roven součinu prvků na diagonále:

${\displaystyle \det({\boldsymbol {A}})=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}}$.

• Determinant matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je roven determinantu transponované matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$:

${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}=\det {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$.

• Pokud je jeden z řádků nebo sloupců nulový, je celý determinant roven nule.
• Pokud lze prvky i-tého řádku matice zapsat jako ${\displaystyle c\cdot a_{ij}}$, pak platí:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ca_{i1}&ca_{i2}&\cdots &ca_{in}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}=c\cdot {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\cdots &a_{in}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}}$,

tzn. determinant je homogenní funkcí (stupně jedna) svých řádků (i sloupců).

• Speciální případ předchozí vlastnosti nastane u matice ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$, jejíž prvky lze vyjádřit vynásobením prvků čtvercové matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ řádu ${\displaystyle n}$ číslem ${\displaystyle c}$, takže ${\displaystyle b_{ij}=c\cdot a_{ij}}$. V tomto případě platí:

${\displaystyle \det {\boldsymbol {B}}=c^{n}\det {\boldsymbol {A}}}$

• Pro součet determinantů dvou matic, které se vzájemně liší v jednom řádku platí:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}+b_{i1}&a_{i2}+b_{i2}&\cdots &a_{in}+b_{in}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\cdots &a_{in}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{i1}&b_{i2}&\cdots &b_{in}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}}$,

neboli determinant je aditivní funkcí svých řádků (i sloupců).

• Aditivita spolu s homogenitou znamenají, že determinant je multilineární formou svých řádků i sloupců.
• Determinant je alternující forma vzhledem k záměně dvou řádků, popř. sloupců, což znamená, že při záměně dvou řádků nebo dvou sloupců se znaménko determinantu změní na opačné.
• Pokud má matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ dva řádky nebo dva sloupce shodné, pak je ${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}=0}$.
• Obecněji, pokud je jeden řádek (nebo sloupec) jako lineární kombinací ostatních řádků (sloupců), čili matice je singulární, je její determinant nulový.
• Regulární matice mají nenulový determinant.
• Determinant inverzní matice splňuje ${\displaystyle \det \left({\boldsymbol {A}}^{-1}\right)={\frac {1}{\det {\boldsymbol {A}}}}}$.
• Determinant součinu čtvercových matic stejného řádu je roven součinu jejich determinantů:

${\displaystyle \det {\boldsymbol {(AB)}}=\det {\boldsymbol {(BA)}}=\det {\boldsymbol {A}}\cdot \det {\boldsymbol {B}}}$.

• Součinem determinantů ${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}}$ a ${\displaystyle \det {\boldsymbol {B}}}$ je determinant ${\displaystyle \det {\boldsymbol {C}}}$, pro který platí

${\displaystyle {\begin{vmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\cdots &c_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{nn}\end{vmatrix}}}$,

kde prvky matice ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ jsou dány jedním z následujících vztahů

${\displaystyle c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{kj}}$, tzn. násobí se řádky matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ s řádky matice ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$,

${\displaystyle c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}b_{kj}}$, tzn. násobí se sloupce matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ s řádky matice ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$,

${\displaystyle c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}}$, tzn. násobí se řádky matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ se sloupci matice ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$,

${\displaystyle c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}b_{jk}}$, tzn. násobí se sloupce matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ se sloupci matice ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$.

• Determinant v euklidovském prostoru je pseudoskalár, při změně ortonormální báze mění znaménko podle toho, zdali se mění orientace báze či nikoliv.

Geometrický význam determinantu

Matice řádu 2

Výpočet obsahu rovnoběžníku pomocí determinantu matice ${\displaystyle 2\times 2}$.

Matice řádu dva

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

má determinant

${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}=ad-bc\,}$.

Jeho absolutní hodnotu lze interpretovat jako obsah rovnoběžníku s vrcholy v bodech ${\displaystyle (0,0)}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{1}=(a,b)}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{2}=(c,d)}$ a ${\displaystyle (a+c,b+d)}$, jak je znázorněno na přiloženém diagramu. Znaménko determinantu určuje vzájemnou orientaci vektorů ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{1}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{2}}$ a to tak, že ${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}}$ je kladný, pokud úhel mezi vektory ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{1}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{2}}$ měřený v kladném směru (tedy proti směru hodinových ručiček) je menší než ${\displaystyle \pi }$, a je záporný, pokud je tento úhel větší než ${\displaystyle \pi }$.

Namísto řádkových vektorů lze vzít i sloupcové.

Objem rovnoběžnostěnu je absolutní hodnotou determinantu matice jejíž řádky (nebo sloupce) jsou vektory ${\displaystyle r_{1}}$, ${\displaystyle r_{2}}$ a ${\displaystyle r_{3}}$.

Matice řádu 3

Podobný geometrický význam jako i determinant matic ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=(b_{ij})}$ řádu tři. Řádkové vektory

${\displaystyle {\boldsymbol {b}}_{1}=(b_{11},b_{12},b_{13}),\,{\boldsymbol {b}}_{2}=(b_{21},b_{22},b_{23}),\,{\boldsymbol {b}}_{3}=(b_{31},b_{32},b_{33})}$

určují v třídimenzionálním prostoru rovnoběžnostěn, jehož objem je roven ${\displaystyle |\det {\boldsymbol {B}}|}$. Pokud je ${\displaystyle \det {\boldsymbol {B}}}$ kladný, tak je posloupnost vektorů ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}_{1}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}_{2}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}_{3}}$ pravotočivá, a je-li záporný, pokud je levotočivá.

Matice vyšších řádů

V Eukleidovských prostorech vyšších dimenzí lze determinant chápat jako (orientovaný) objem obecného ${\displaystyle n}$-rozměrného rovnoběžnostěnu, a jeho znaménko jako indikátor orientace (pravotočivosti, respektive levotočivosti) posloupnosti vektorů ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}_{1},{\boldsymbol {b}}_{2},\ldots ,{\boldsymbol {b}}_{n}}$.

Z geometrické interpretace vyplývá, že v případě nulového determinantu má příslušný rovnoběžnostěn nulový objem. To nastane, právě když lze alespoň jeden z vektorů vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. Vektory (ať už řádkové nebo sloupcové) v tomto případě generují prostor dimenze nižší, než je řád matice. Taková matice se nazývá singulární. Naopak matice, jejíž determinant je nenulový, je regulární.

Metody výpočtu

Řádkové a sloupcové úpravy matice

Metoda spočívá v provedení úprav matice, které nemění hodnotu determinantu nezmění nebo změní kontrolovaným způsobem a přitom některé prvky matice redukuje na 0, čímž se zjednoduší výpočet hodnoty determinantu. Cílem prováděných úprav je získat horní trojúhelníkovou matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ (tedy pro ${\displaystyle i>j}$ je ${\displaystyle a_{ij}=0}$), neboť pro tu platí:

${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\,}$,

neboli determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na hlavní diagonále matice.

Například determinant matice ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$, kterou získáme z matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ tak, že k libovolnému řádku matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ přičteme násobek některého z ostatních řádků matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, je roven determinantu matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, neboli ${\displaystyle \det {\boldsymbol {B}}=\det {\boldsymbol {A}}}$. Obecněji, přičteme-li k řádku lineární kombinaci ostatních řádků, hodnota determinantu se nezmění. Podobně lze postupovat i pro sloupce.

Kromě toho lze použít i další pravidla, která však mění hodnotu determinantu:

• Pokud ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ vznikne z ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ výměnou dvou řádku nebo sloupců, potom ${\displaystyle \det {\boldsymbol {B}}=-\det {\boldsymbol {A}}\,}$.
• Pokud ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ vznikne z ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ vynásobením řádku nebo sloupce skalárem c, potom ${\displaystyle \det {\boldsymbol {B}}=c\det {\boldsymbol {A}}\,}$.

Gaussova eliminace udává postup, jak s použitím uvedených pravidel převedeme matici na horní trojúhelníkovou matici. Navíc je garantováno, že stačí provést nejvýše kvadraticky mnoho řádkových úprav vzhledem k řádu matice.

Následující konkrétní ukázka ilustruje výpočet determinantu matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ pomocí elementárních řádkových úprav:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}-1&4&2\\3&1&-1\\-3&2&-2\end{pmatrix}}.}$

Výpočet determinantu matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

Matice	${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}-1&4&2\\3&1&-1\\0&3&-3\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C}}={\begin{pmatrix}-1&4&2\\0&13&5\\0&3&-3\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {D}}={\begin{pmatrix}-1&4&2\\0&3&-3\\0&13&5\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {E}}={\begin{pmatrix}-1&4&2\\0&3&-3\\0&0&18\end{pmatrix}}}$
Získaná úpravou	přičtení druhého řádku k třetímu	přičtení trojnásobku prvního řádku k druhému	záměna druhého a třetího řádku	přičtení ${\displaystyle -{\frac {13}{3}}}$ násobku druhého řádku k třetímu
Determinant	${\displaystyle |{\boldsymbol {A}}|=|{\boldsymbol {B}}|}$	${\displaystyle |{\boldsymbol {B}}|=|{\boldsymbol {C}}|}$	${\displaystyle |{\boldsymbol {D}}|=-|{\boldsymbol {C}}|}$	${\displaystyle |{\boldsymbol {E}}|=|{\boldsymbol {D}}|}$

Z posloupnosti provedených úprav vyplývá ${\displaystyle |{\boldsymbol {A}}|=-|{\boldsymbol {E}}|=-((-1)\cdot 3\cdot 18)=54.}$

Laplaceův rozvoj

Metoda odpovídá rekurentní definici determinantu. Je vhodná pro řídké matice neboli matice s mnoha nulovými prvky. Rozvoj podle ${\displaystyle i}$-tého řádku je dán vzorcem:

${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}=\sum _{j=1}^{n}\ {a}_{ij}(-1)^{i+j}A_{ij}}$

kde ${\displaystyle {A}_{ij}}$ je determinant matice, která vznikne z ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ odstraněním ${\displaystyle i}$-tého řádku a ${\displaystyle j}$-tého sloupce. Takto získaná matice se nazývá podmatice, determinant k ní příslušný se nazývá subdeterminant a člen ${\displaystyle (-1)^{i+j}A_{ij}}$ se nazývá kofaktor.

Rozvoj podle ${\displaystyle j}$-tého sloupce je dán vzorcem:

${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}=\sum _{i=1}^{n}\ {a}_{ij}(-1)^{i+j}A_{ij}}$

(Jediná změna je v použitém sumačním indexu.)

Výpočetní a bitová složitost

Výpočetní složitost výpočtu determinantu matice řádu ${\displaystyle n}$ z definice Leibnizovou formulí nebo rekurentní aplikací Laplaceova rozvoje je asymptoticky ${\displaystyle \operatorname {O} (n!)}$, zatímco běžná Gaussova eliminace má složitost pouze ${\displaystyle \operatorname {O} (n^{3})}$ a v některých případech lze postupovat ještě rychleji (viz například Strassenův algoritmus). Proto je výpočetně smysluplné pro rozvoj využívat pouze řádky nebo sloupce, které obsahují jen jeden nenulový prvek, neboť už u dvou prvků v řádku či sloupci je výpočetně efektivnější jeden z nich eliminovat řádkovou nebo sloupcovou úpravou (až na malé matice řádů nejvýše tři).

Kromě složitosti algoritmu lze k porovnání algoritmů použít i další kritéria. Zejména pro aplikace týkající se matic nad okruhy existují algoritmy, které počítají determinant bez jakéhokoli dělení. (Naproti tomu Gaussova eliminace vyžaduje dělení.) Jeden takový algoritmus, který má složitost ${\displaystyle \operatorname {O} (n^{4})}$, je založen na následující myšlence: Permutace (jako v Leibnizově pravidle) nahradíme takzvanými uzavřenými uspořádanými sledy, v nichž se mohou prvky opakovat. Výsledný součet má více členů než v Leibnizově pravidle, ale v procesu lze několik z těchto součinů znovu použít, takže je efektivnější než naivní výpočet s Leibnizovým pravidlem.^[3] Algoritmy lze také hodnotit podle jejich bitové složitosti, tj. kolik bitů přesnosti je potřeba k uložení dočasných hodnot vyskytujících se ve výpočtu. Například metoda Gaussova eliminace (nebo LU rozklad) má výpočetní složitost ${\displaystyle \operatorname {O} (n^{3})}$, ale bitová délka mezihodnot může být exponenciálně dlouhá.^[4] Pro srovnání, Bareissův algoritmus, je metoda s přesným dělením (používá tedy dělení, ale pouze v případech, kdy je lze provést beze zbytku), má asymptoticky stejnou výpočetní složitost, ale bitová složitost zhruba odpovídá ${\displaystyle n}$-násobku bitové velikosti zápisu původní matice.^[5]

Souvislosti s jinými pojmy

Vlastní čísla a charakteristický polynom

Podrobnější informace naleznete v článku Vlastní vektory a vlastní čísla.

Determinant úzce souvisí s vlastními čísly a charakteristickým polynomem matice. Charakteristický polynom matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ v proměnné ${\displaystyle t}$ je definován výrazem:

${\displaystyle \chi _{\boldsymbol {A}}(t)=\det({\boldsymbol {A}}-t\mathbf {I} )}$

kde ${\displaystyle \mathbf {I} }$ je jednotková matice stejného řádu jako ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ . Vlastní čísla matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ jsou právě všechny kořeny tohoto polynomu, tj. taková čísla ${\displaystyle \lambda }$ ze stejného oboru jako prvky matice, splňující:

${\displaystyle \chi _{\boldsymbol {A}}(\lambda )=0.}$

Je-li ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ matice řádu ${\displaystyle n}$ s vlastními čísly ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}}$ (zde se rozumí, že vlastní číslo s algebraickou násobností ${\displaystyle k}$ se v tomto seznamu vyskytuje ${\displaystyle k}$-krát), pak determinant matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je součin všech jejích vlastních čísel:

${\displaystyle \det({\boldsymbol {A}})=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}}$.

Pozitivně definitní matice

Podrobnější informace naleznete v článku Definitnost.

Hermitovská matice je pozitivně definitní, pokud jsou všechna její vlastní čísla kladná. Uvedená vlastnost je podle Sylvesterova kritéria ekvivalentní podmínce, že determinanty podmatic

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{k}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1k}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k1}&a_{k2}&\cdots &a_{kk}\end{pmatrix}}}$

jsou kladné pro všechna ${\displaystyle k\in \{1,\dots ,n\}}$.

Podobné matrice

Podrobnější informace naleznete v článku Podobnost matic.

Matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ jsou si navzájem podobné, pokud existuje regulární matice ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$ taková, že ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {R}}^{-1}{\boldsymbol {BR}}}$. Determinanty podobných matic jsou shodné, protože

${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}=\det \left({\boldsymbol {R}}^{-1}{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {R}}\right)=\det({\boldsymbol {R}}^{-1})\cdot \det {\boldsymbol {B}}\cdot \det {\boldsymbol {R}}=\left(\det {\boldsymbol {R}}\right)^{-1}\cdot \det {\boldsymbol {B}}\cdot \det {\boldsymbol {R}}=\det {\boldsymbol {B}}}$.

Z uvedeného vyplývá, že je-li ${\displaystyle f\colon V\to V}$ lineární zobrazení na vektorovém prostoru ${\displaystyle V}$ konečné dimenze, potom volba báze nijak neovlivní hodnotu determinantu matice tohoto zobrazení.

Stopa

Podrobnější informace naleznete v článcích Stopa matice a Maticová exponenciála.

Stopa ${\displaystyle \operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}}$ matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je definována jako součtem prvků na diagonále ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$. Pokud počet vlastních čísel (včetně násobnosti) odpovídá řádu matice, je stopa rovna součtu vlastních čísel. Pro matice nad algebraicky uzavřenými tělesy, např. pro komplexní matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ proto platí:

${\displaystyle \det(\exp {\boldsymbol {A}})=\exp(\operatorname {tr} {\boldsymbol {A}})}$

a v důsledku pro reálné matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ platí také:

${\displaystyle \operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}=\log(\det(\exp {\boldsymbol {A}}))}$

Zde ${\displaystyle \exp {\boldsymbol {A}}}$ označuje maticovou exponenciálu ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, protože každé vlastní číslo ${\displaystyle \lambda }$ matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ odpovídá vlastnímu číslu ${\displaystyle \exp \lambda }$ matice ${\displaystyle \exp {\boldsymbol {A}}}$. Konkrétně, pro libovolný logaritmus matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, tedy pro každou matici ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$ vyhovující podmínce:

${\displaystyle \exp {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {A}}}$

je determinant matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ dán vztahem:

${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}=\exp(\operatorname {tr} {\boldsymbol {L}})}$.

Například pro matice řádů 2, 3 a 4, resp. platí:

${\displaystyle {\begin{aligned}\det {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{2}}\left(\left(\operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}\right)^{2}-\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {A}}^{2}\right)\right),\\\det {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{6}}\left(\left(\operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}\right)^{3}-3(\operatorname {tr} {\boldsymbol {A}})\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {A}}^{2}\right)+2\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {A}}^{3}\right)\right),\\\det {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{24}}\left(\left(\operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}\right)^{4}-6\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {A}}^{2}\right)\left(\operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}\right)^{2}+3\left(\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {A}}^{2}\right)\right)^{2}+8\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {A}}^{3}\right)(\operatorname {tr} {\boldsymbol {A}})-6\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {A}}^{4}\right)\right).\end{aligned}}}$

Historie

Historicky byly determinanty (lat. determinare "vymezovat", "určovat") používány dlouho před maticemi. Pojem "matice" vznikl až více než 200 let po prvních úvahách o determinantech. Determinant byl původně definován jako vlastnost soustavy lineárních rovnic. Determinant „určuje“, zda má soustava jednoznačné řešení, což nastává právě když je determinant nenulový. V tomto smyslu byly determinanty poprvé použity v čínské učebnici matematiky Devět kapitol matematického umění (九章算術, kolem 3. století před naším letopočtem). V Evropě byla řešení soustav dvou lineárních rovnic vyjádřena Gerolamem Cardanem v roce 1545 entitou podobnou determinantu.^[6]

Přibližně o sto let později Gottfried Wilhelm Leibniz a Takakazu Seki nezávisle na sobě studovali soustavy lineárních rovnic o více neznámých.^[7] Seki vydal roku 1683 v Japonsku práci, v níž se snažil podat schematické vzorce řešení soustav rovnic pomocí determinantů a objevil pravidlo pro případ tří neznámých, které odpovídá pozdějšímu Sarrusovu pravidlu. Obdobnou práci o determinantech vydal Leibniz v roce 1693. ^{[8] [9]}

V 18. století se determinanty staly nedílnou součástí technik pro řešení soustav lineárních rovnic. Při studiích průsečíků dvou algebraických křivek vypočítal Gabriel Cramer v roce 1750 koeficienty obecné kuželosečky

${\displaystyle A+By+Cx+Dy^{2}+Exy+x^{2}=0,}$

která prochází pěti danými body a zavedl Cramerovo pravidlo (bez důkazu), které je po něm dnes pojmenováno.^[10] Tento vzorec používal již Colin Maclaurin pro soustavy rovnic až se čtyřmi neznámými.^[11] Několik známých matematiků jako Étienne Bézout, Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange a Pierre-Simon Laplace se tou dobou primárně zabývalo výpočtem determinantů.

Determinanty jako samostatné funkce studoval jako první Alexandre-Théophile Vandermonde ve své práci o teorii eliminace, dokončené v roce 1771 a zveřejněné v roce 1776. V ní formuloval některá základní tvrzení o determinantech a je proto považován za zakladatele teorie determinantů. Mezi tyto výsledky patřilo například tvrzení, že sudý počet záměn dvou sousedních sloupců nebo řádků nemění znaménko determinantu, zatímco znaménko determinantu se změní s lichým počtem záměn. Pierre-Simon Laplace uvedl v roce 1772 obecnou metodu rozvoje determinantu pomocí doplňkových subdeterminantů.^[12] Lagrange se bezprostředně poté zabýval determinanty matic druhého a třetího řádu, aplikoval je na problémy z teorie eliminace a dokázal mnoho speciálních případů obecných identit.

Během svých studií binárních a ternárních kvadratických forem používal Carl Friedrich Gauss schematický zápis matice, aniž jej tak však nazýval. Jako vedlejší efekt svých výzkumů definoval dnešní maticový součin, dospěl k pojmu reciprokých (inverzních) determinantů a pro určité speciální případy ukázal roku 1801 větu o determinantu součinu matic. Zavedl také slovo „determinant“ (Laplace jej nazýval „resultant“), i když ne v současném významu, ale spíše jako diskriminant polynomu pátého stupně.^[10]

Dalším významným přispěvatelem je Jacques Philippe Marie Binet, který formálně vyslovil větu o součinu dvou matic o ${\displaystyle m}$ sloupcích a ${\displaystyle n}$ řádcích. Ve speciálním případě ${\displaystyle m=n}$ se tato věta redukuje na větu o součinu. Ve stejný den (30. listopadu 1812), kdy Binet přednesl Akademii svůj příspěvek, přednášel na stejné téma i Augustin-Louis Cauchy. Cauchy začal používat slovo "determinant" v jeho dnešním významu a významně přispěl k tomu, že pro tento pojem termín „determinant“ nakonec převládl. Cauchy dále systematizoval teorii determinantu, shrnul a zjednodušil to, co bylo v té době na toto téma známo, zdokonalil zápis. Zavedl například kofaktory a jasně rozlišoval mezi jednotlivými prvky determinantu a dílčími determinanty různých řádů. Formuloval a dokázal některé věty o determinantech, jako je věta o součinu determinantů nebo její zobecnění, Binetova-Cauchyho formule. Proto lze i Cauchyho považovat za zakladatele teorie determinantu.

Carl Gustav Jacob Jacobi zavedl roku 1841 determinant matice parciálních derivací, který James Joseph Sylvester později nazval Jakobiánem.^[8] Ve svých vzpomínkách v Crelle's Journal za rok 1841 se Jacobi speciálně zabývá tímto tématem, stejně jako třídou střídavých funkcí, které Sylvester nazval "alternanty". Přibližně v době vydání posledních Jacobiho pamětí se maticemi začali zabývat Sylvester a Arthur Cayley. Cayley 1841 zavedl moderní zápis determinantu pomocí svislých čar.

Axiomatický popis determinantu jako funkce ${\displaystyle n\times n}$ nezávislých proměnných jako první podal Karl Weierstrass ve svých berlínských přednáškách (nejpozději z roku 1864 a možná ještě před tím), na které pak navázal Ferdinand Georg Frobenius ve svých berlínských přednáškách v letním semestru 1874 a mimo jiné byl pravděpodobně první, kdo systematicky odvodil Laplaceův rozvoj z této axiomatiky.^[2]

Na dokončení obecné teorie determinantu navázalo studium speciálních forem determinantů, např. osově symetrických determinantů, cirkulantů, Pfaffiánů, Wronského determinantů, Jakobiánů, Hessiánů a dalších.