Integrace per partes

Integrace per partes (integrace po částech) se používá pro integrování součinu funkcí. Tato metoda je založena na větě o derivaci součinu:

${\displaystyle (uv)^{\prime }=u^{\prime }v+uv^{\prime }}$

Uplatněním této věty na podmínky pro integrál vzniknou následující vzorce:

${\displaystyle \int (uv)'\,\mathrm {d} x=\int (u'v)\,\mathrm {d} x+\int (uv')\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle uv=\int (u'v)\,\mathrm {d} x+\int (uv')\,\mathrm {d} x}$

Úpravou druhé rovnice vznikne metoda integrace označovaná per partes:

${\displaystyle \int (uv')\,\mathrm {d} x=uv-\int (u'v)\,\mathrm {d} x}$

Druhý vztah získáme pouhou záměnou ${\displaystyle u\leftrightarrow v}$.

Vztah pro integraci po částech bývá také vyjadřován pomocí diferenciálu jako

${\displaystyle \int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u}$

Metoda per partes je vhodná pro integrování součinu funkcí. Při hledání integrálu lze metodu per partes použít opakovaně.

Per partes pro neurčitý integrál

Věta

Nechť ${\displaystyle u(x)}$ a ${\displaystyle v(x)}$ mají v intervalu ${\displaystyle (a,b)}$ spojitou první derivaci. Potom v intervalu ${\displaystyle (a,b)}$ platí: ^[1]

$${\displaystyle \int u'v\,\mathrm {d} x=uv-\int uv'\,\mathrm {d} x{\mbox{.}}}$$

Příklady

• ${\displaystyle \int (x\cdot \cos x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \sin x-\int \sin x\,\mathrm {d} x=x\cdot \sin x+\cos x+C}$, kde bylo použito ${\displaystyle u=x,v^{\prime }=\cos x}$
• Pro nalezení ${\displaystyle \int x^{2}\sin x\,\mathrm {d} x}$ položíme ${\displaystyle u=x^{2},v=\sin x}$, takže dostaneme ${\displaystyle \int x^{2}\sin x\,\mathrm {d} x=-x^{2}\cos x+2\int x\cos x\mathrm {d} x}$. Pro řešení získaného integrálu použijeme opět metodu per partes, přičemž položíme ${\displaystyle u=x,v^{\prime }=\cos x}$, tzn. ${\displaystyle \int x\cos x\mathrm {d} x=x\sin x-\int \sin x\mathrm {d} x=x\sin x+\cos x}$. Dosazením pak získáme konečný výsledek ${\displaystyle \int x^{2}\sin x\mathrm {d} x=-x^{2}\cos x+2(x\sin x+\cos x)+C}$

Rychlá výpočetní metoda per partes

Rychlá výpočetní metoda není rozšířením metody per partes. Jedná se o mnemotechnickou pomůcku usnadňující zapamatování postupu výpočtu, jeho zpřehlednění a následně usnadní i kontrolu.

Formálně je možné metodu naznačit následovně:

${\displaystyle \int u(x)v''(x)\,\mathrm {d} x={\begin{array}{|ccc|}Derivace&&Integrace\\\hline \color {green}{u(x)}&&v''(x)\\&\color {green}{+ \atop \searrow }&\\\color {blue}{u'(x)}&&\color {green}{v'(x)}\\&\color {blue}{- \atop \searrow }&\\\color {red}{u''(x)}&&\color {blue}{v(x)}\\&\color {red}{\longrightarrow \atop {+\int }}&\\\end{array}}=\color {green}{\,+u(x)v'(x)}\color {blue}{\,-u'(x)v(x)}\color {red}{\,+\int u''(x)}\color {blue}{v(x)}\color {red}{\,\mathrm {d} x}}$

Při integraci součinu dvou funkcí se vytvoří dvousloupcová tabulka, kde se v prvním sloupci derivuje jeden z činitelů a ve druhém sloupci se integruje druhý. V každém kroku (řádku) tabulky si klademe otázku, zda jsme schopni integrovat součin na daném řádku. Pokud ne, vytvoří se další řádek. Pokud ano, doplní se šipky ( ${\displaystyle \textstyle {+ \atop \searrow }\,\textstyle {- \atop \searrow }\,\textstyle {+ \atop \searrow }\,\textstyle {- \atop \searrow }\,\textstyle {+ \atop \searrow }\,\dots }$ ) a zapíše výsledek.

Příklady použití

A) Klasické použití rychlé metody per partes (čtyřnásobné):

${\displaystyle \int x^{3}\mathrm {e} ^{x}\,\mathrm {d} x={\begin{array}{|ccc|}D&&I\\\hline x^{3}&&\mathrm {e} ^{x}\\&{+ \atop \searrow }&\\3x^{2}&&\mathrm {e} ^{x}\\&{- \atop \searrow }&\\6x&&\mathrm {e} ^{x}\\&{+ \atop \searrow }&\\6&&\mathrm {e} ^{x}\\&{- \atop \searrow }&\\0&&\mathrm {e} ^{x}\\&{\longrightarrow \atop {+\int }}&\\\end{array}}=x^{3}\mathrm {e} ^{x}-3x^{2}\mathrm {e} ^{x}+6x\mathrm {e} ^{x}-6\mathrm {e} ^{x}+C}$

B) Zacyklení v případech integrace součinu exponenciálních a goniometrických funkcí:

${\displaystyle \underbrace {\int \mathrm {e} ^{x}\sin x\,\mathrm {d} x} _{\color {green}{K}}={\begin{array}{|ccc|}D&&I\\\hline \mathrm {e} ^{x}&&\sin x\\&{+ \atop \searrow }&\\\mathrm {e} ^{x}&&-\cos x\\&{- \atop \searrow }&\\\mathrm {e} ^{x}&&-\sin x\\&{\longrightarrow \atop {+\int }}&\\\end{array}}=-\mathrm {e} ^{x}\cos x+\mathrm {e} ^{x}\sin x-\underbrace {\int \mathrm {e} ^{x}\sin x\,\mathrm {d} x} _{\color {green}{K}}}$

tj. ${\displaystyle \quad {\color {green}{K}}=-\mathrm {e} ^{x}\cos x+\mathrm {e} ^{x}\sin x-{\color {green}{K}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\color {green}{K}}={\frac {1}{2}}\mathrm {e} ^{x}\left(\sin x-\cos x\right)+C}$

C) Rozšíření na součin v případech, kdy má smysl pracovat s derivací integrandu:

${\displaystyle \int \ln x\,\mathrm {d} x=\int 1\cdot \ln x\,\mathrm {d} x={\begin{array}{|ccc|}D&&I\\\hline \ln x&&1\\&{+ \atop \searrow }&\\{\frac {1}{x}}&&x\\&{\longrightarrow \atop {-\int }}&\\\end{array}}=x\ln x-\int {\frac {1}{x}}\cdot x\,\mathrm {d} x=x\ln x-x+C}$

${\displaystyle \int {\mbox{arctg }}x\,\mathrm {d} x=\int 1\cdot {\mbox{arctg }}x\,\mathrm {d} x={\begin{array}{|ccc|}D&&I\\\hline {\mbox{arctg }}x&&1\\&{+ \atop \searrow }&\\{\frac {1}{1+x^{2}}}&&x\\&{\longrightarrow \atop {-\int }}&\\\end{array}}=x\,{\mbox{arctg }}x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=x\,{\mbox{arctg }}x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}$

Užití per partes k odvození vzorců

Primitivní funkce

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \int e^{\alpha x}\cos \omega x\,\mathrm {d} x&=\displaystyle {\frac {e^{\alpha x}(\omega \sin \omega x+\alpha \cos \omega x)}{\alpha ^{2}+\omega ^{2}}}+C\\\displaystyle \int e^{\alpha x}\sin \omega x\,\mathrm {d} x&=\displaystyle {\frac {e^{\alpha x}(\alpha \sin \omega x-\omega \cos \omega x)}{\alpha ^{2}+\omega ^{2}}}+C,\quad C\in \mathbb {R} \end{array}}}$

atd. ${\displaystyle \quad \dots \quad }$ ^{[1] [2]}

Rekurentní vzorce

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \int \cos ^{n}x\,\mathrm {d} x=J_{n}&\quad {\mbox{potom}}\quad &J_{n+2}=\,\,{\frac {1}{n+2}}\,\cos ^{n+1}x\,\sin x\,+\,{\frac {n+1}{n+2}}\,J_{n}\\\displaystyle \int \sin ^{n}x\,\mathrm {d} x=J_{n}&{\mbox{potom}}&J_{n+2}=-{\frac {1}{n+2}}\sin ^{n+1}x\,\cos x\,+\,{\frac {n+1}{n+2}}\,J_{n}\\\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{(1+x^{2})^{n}}}=J_{n}&{\mbox{potom}}&J_{n+1}=\,\,{\frac {1}{2n}}\left(\;{\frac {x}{(1+x^{2})^{n}}}+(2n-1)\,J_{n}\;\right)\end{array}}}$

atd. ${\displaystyle \quad \dots \quad }$ ^{[1] [2]}

Per partes pro určitý integrál

Věta

Nechť ${\displaystyle u(x)}$ a ${\displaystyle v(x)}$ mají v intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ spojitou první derivaci. Potom v intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ platí: ^[1]

$${\displaystyle \int _{a}^{b}u'v\,\mathrm {d} x=\left[uv\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}uv'\,\mathrm {d} x{\mbox{.}}}$$

Zápis ${\displaystyle \left[uv\right]_{a}^{b}}$ je zápis použitý v Newton-Leibnizově vzorci pro výpočet Newtonova určitého integrálu.

Příklad

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }(x\cdot \sin x)\,\mathrm {d} x={\bigl [}-x\cdot \cos x{\bigr ]}_{0}^{\pi }+\int _{0}^{\pi }\cos x\,\mathrm {d} x=\pi }$, kde bylo použito ${\displaystyle u=x}$, ${\displaystyle v^{\prime }=\sin x}$

Rychlá výpočetní metoda per partes

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }x^{3}\sin x\,\mathrm {d} x={\begin{array}{|ccc|}D&&I\\\hline x^{3}&&\sin x\\&{+ \atop \searrow }&\\3x^{2}&&-\cos x\\&{- \atop \searrow }&\\6x&&-\sin x\\&{+ \atop \searrow }&\\6&&\cos x\\&{- \atop \searrow }&\\0&&\sin x\\&{\longrightarrow \atop {+\int }}&\\\end{array}}={\Bigl [}-x^{3}\cos x+3x^{2}\sin x+6x\cos x-6\sin x+C{\Bigr ]}_{0}^{\pi }=\pi ^{3}-6\pi }$