Jednotková matice

V lineární algebře označuje pojem jednotková matice řádu ${\displaystyle n}$ čtvercovou matici ${\displaystyle n\times n}$, která má na hlavní diagonále jedničky a na ostatních místech nuly. Jednotková matice řádu ${\displaystyle n}$ se značí ${\displaystyle \mathbf {I} _{n}}$^[1] nebo ${\displaystyle \mathbf {E} _{n}}$^[2]. Index je možné vynechat a psát jen ${\displaystyle \mathbf {I} }$ nebo ${\displaystyle \mathbf {E} }$, je-li velikost nepodstatná nebo lze-li ji odvodit z kontextu.${\displaystyle \mathbf {I} _{1}=\mathbf {E} _{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}},\ \mathbf {I} _{2}=\mathbf {E} _{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\ \mathbf {I} _{3}=\mathbf {E} _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\ \cdots ,\ \mathbf {I} _{n}=\mathbf {E} _{n}={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&1\end{pmatrix}}}$

Vlastnosti

Jednotková matice je neutrálním prvkem vzhledem k součinu matic, tj. platí ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\mathbf {I} ={\boldsymbol {A}}}$ a ${\displaystyle \mathbf {I} {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}}$, kdykoli je příslušný součin matic definován.

Jednotková matice je regulární, protože je inverzní sama k sobě. Zároveň je symetrická i ortogonální. Nemění se umocňováním. Její odmocnina (tj. matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ splňující ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{2}=\mathbf {I} }$) není jednoznačná. Odmocninou může být opět jednotková matice, ovšem existují také odmocniny nediagonální, např.${\textstyle {\begin{pmatrix}4/5&3/5\\3/5&-4/5\\\end{pmatrix}}}$ i nesymetrické. ^[3]

Jednotková matice je speciálním případem diagonální matice.

Poznámky ke značení

Symbol ${\textstyle \mathbf {I} }$ pochází z angl. Identity matrix, doslova matice identity, coby identického zobrazení ${\displaystyle \mathrm {id} }$.

Naopak symbol ${\textstyle \mathbf {E} }$ má patrně původ v něm. Einheitsmatrix ^[4], což také souvisí s obvyklým značením neutrálního prvku v grupě symbolem ${\displaystyle e}$. Sloupce jednotkové matice tvoří vektory standardní báze, které bývají často označovány ${\textstyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}}$. ^[2]

Řídce bývají používány symboly ${\textstyle \mathbf {U} }$ a ${\textstyle {\boldsymbol {1}}}$ ^[5] a jejich typografické varianty.

Coby dobře definovanou matematickou konstantu je možné vídat symbol jednotkové matice psán neskloněným písmem (antikvou), tedy ${\textstyle \mathbf {I} }$, resp. ${\textstyle \mathbf {E} }$, pro odlišení od skloněných symbolů užívaných pro proměnné matice ${\textstyle {\boldsymbol {A}}}$. ^[2]