Lineární algebra

Lineární algebra má svoje počátky ve studiu vektorů v kartézském dvourozměrném a trojrozměrném prostoru. Obecně jsou vektory jakékoliv objekty, které lze navzájem sčítat a násobit skalárem.

Vektor je tedy např. úsečka charakterizovaná jak svojí velikostí, která je dána délkou, tak svým směrem. Takové vektory slouží ve fyzice jako reprezentace tzv. vektorových veličin (rychlost, síla, intenzita magnetického pole, ...), avšak vektorem může být také polynom, funkce nebo posloupnost. Z těchto vektorů můžeme navíc vybrat takové s nějakou vlastností, která se zachovává sčítáním i násobením (u funkcí spojitost nebo diferencovatelnost, u polynomů nejvyšší stupeň, u posloupností omezenost ...).

Uzavřenou množinu vektorů (objektů) nazýváme vektorový prostor. Podstatnou vlastností je, že pokud sečteme dva vektory nebo vynásobíme vektor skalárem, získáme jiný vektor. Může existovat skupina vektorů takových, že sčítáním různých násobků těchto vektorů lze získat jakýkoliv jiný vektor z daného prostoru. Takové vektory nazýváme generátory. Pokud navíc platí, že žádný z generátorů nelze nakombinovat z ostatních, nazýváme je bází.

Počet vektorů v bázi nazýváme dimenze. To znamená, že pokud existují dva libovolné nezávislé vektory v množině, lze jejich kombinací vytvořit celou rovinu.

Pokud má báze tři vektory, mají všechny další báze také tři vektory a dimenze je 3. Obecně vektorový prostor všech polynomů stupně nejvýše "n" a nulového polynomu (ten stupeň nemá) má dimenzi "n+1."

Souřadnice vektoru jsou sekvence skalárů popisující umístění vektoru v prostoru.

Podstata lineární algebry je, že všechna dokázaná tvrzení platí pro všechny vektorové prostory, nezávisle na tom jak definujeme vektor, sčítání vektorů nebo jejich násobení číslem. Stačí pokud splňují podmínky pro vektorový prostor.

U vektorových prostorů je dále důležitá volba tělesa. Těleso je množina, kde ke každému prvku existuje prvek opačný a inverzní (lidově řečeno, lze odčítat i dělit). Nejmenším tělesem obsahujícím celá čísla je množina všech racionálních čísel, často jsou používána čísla reálná a komplexní. Existují taktéž tělesa s konečným počtem prvků (čísel), nejjednodušším příkladem jsou zbytkové třídy prvočísel.

Lineární operátory převádí prvky z jednoho lineárního prostoru do druhého (nebo do toho samého prostoru) a zachovává přitom vektorové sčítání a násobení skalárem dané na těchto vektorových prostorech. Množina všech takových transformací je také vektorovým prostorem.

Je-li báze konečně generovaného vektorového prostoru pevně zvolená, pak lze každou lineární transformaci zapsat ve formě matice.

Detailní zkoumání vlastností matic a algoritmů prováděných na maticích, včetně výpočtu determinantu a vlastních vektorů a čísel matice, je součástí lineární algebry.

Obecná metoda, kdy je nalezen lineární způsob pohledu na nějaký problém, ten je pak vyjádřen v termínech lineární algebry a je vyřešen například pomocí matic, je jedna z nejšířeji použitelných metod v matematice.

Lineární algebra

Historie

Základní úvod

Literatura

Související články

Externí odkazy

Wikiwand - on