Laplaceův operátor
divergence gradientu From Wikipedia, the free encyclopedia
Remove ads
Laplaceův operátor je diferenciální operátor definovaný jako divergence gradientu skalárního, nebo obecně tenzorového pole nazvaný podle Pierre-Simona Laplace. Je-li aplikován na skalární pole, výsledkem je skalární pole, je-li aplikován na tenzorové pole, výsledkem je tenzorové pole stejného řádu. Značí se symbolem .
Definice
Laplaceův operátor je definován jako působení skalárního součinu operátorů nabla na funkci :
- .
V -rozměrném prostoru lze Laplaceův operátor vyjádřit působením operátoru delta na funkci :
- .
Obecně pro se diferenciální operátor nazývá p-Laplacián. Pro se p-Laplacián redukuje na klasický Laplaceův operátor.
Remove ads
d'Alembertův operátor
Speciálním případem Laplaceova operátoru je d'Alembertův diferenciální operátor (nazvaný podle Jeana le Rond d'Alemberta) pro čtyřrozměrný Minkowského prostor ve speciální teorii relativity při popisu dějů v prostoročasu či v relativistické formulaci kvantové teorie (viz Kleinova–Gordonova rovnice).
d'Alembertův operátor v kartézských souřadnicích je ve tvaru:
nebo speciálně za použití souřadnic ve tvaru:
- .
V látkovém prostředí se někdy používá definice
- ,
kde jsou permeabilita a permitivita daného materiálu a je jeho index lomu.
Značí se značkou [pozn. 1].
Remove ads
Vyjádření v různých soustavách souřadnic
Je-li skalární pole v daných souřadnicích, pak platí:
- .
nebo ekvivalentně:
- .
V obecných ortogonálních souřadnicích má gradient s využitím Laméových koeficientů ,, tvar:
- .
Laplaceův operátor je invariantní vůči transformaci souřadnic.
Remove ads
Užití
Poznámky
Remove ads
Literatura
- HRIVŇÁK, DANIEL. DIFERENCIÁLNÍ OPERÁTORY VEKTOROVÉ ANALÝZY. [s.l.]: OSTRAVSKÁ UNIVERZITA, 2002. Dostupné v archivu pořízeném dne 2023-09-06.
Související články
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads